3. Методи Рунге-Кутта.

На практиці для розв’язування задачi Коші найчастiше використовують методи Рунге-Кутта. Цими методами можна розв’язати задачу Кошi для звичайного диференцiйного рiвняння першого порядку, для диференцiйних рiвнянь вищих порядків, системи диференцiйних рiвнянь першого порядку [4].

Перевага методiв Рунге-Кутта полягає в тому, що обчислювальні алгоритми є однорiдними, тобто не змiнюються при переходi від однiєї точки до iншої, а крок змiнюється вiдповiдно до потреби точностi обчислень, без ускладнення обчислювального алгоритму.

Методи Рунге-Кутта мають високу точнiсть, причому обчислення можна проводити із змінним кроком: неважко эменшити крок там, де функцiя швидко змiнюється, i збiльшити в протилежному випадку.

Недоліком методів Рунге-Кутта є те, що для відшукання наближеного розв’язку в точцi заданого вiдрiзку необхiдно виконати декілька обчислень значень функцій.

Наведемо рекурентні формули методу Рунге-Кутта рiзних порядкiв точностi.

А) Формули методу Рунге-Кутта другого порядку:

Б) Формули методу Рунге-Кутта третього порядку:

В) Формули методу Рунге-Кутта четвертого порядку:

При використанні формул методу Рунге-Кутта виникають питання: якими з формул (3.1)-(3.8) доцiльно користуватись у кожному конкретному випадку, як вибирати крок сітки? Якщо права частина диференційного рівняння – функція, неперервна й обмежена разом із своїми четвертими похiдними, тоді добрі результати дає метод Рунге-Кутта четвертого порядку (завдяки швидкому зростанню точностi зі эменшенням кроку сітки). Якщо права частина не має обмежених четвертих похiдних, тоді максимального порядку точностi такої схеми не можна досягнути. В цьому випадку доцiльно використовувати обчислювальнi схеми методу меншого порядку точності, який відповідає порядку похiдних.

Крок сітки вибирають настільки малим, щоб забезпечити необхідну точність розрахункiв. Основним практичним способом одержання заданої точностi є апостерiорна оцiнка похибки. Для її вiдшукання розрахунок проводять на двох сiтках з кроками та застосовують правило Рунге.

4. Оцiнювання похибки наближеного розв’язку задачі Кошi.

Для методiв Ейлера та його модифiкацiй, а також методів Рунге-Кутта i Адамса застосовують апріорні оцiнки похибки наближеного розв’язку задачi Кошi (1)-(2) . Однак цi оцiнки здебiльшого значно завищені. Тому їхнє значення не стiльки практичне, скiльки теоретичне, бо з них безпосередньо випливає висновок про збiжність цих методiв. Крім того, апрiорнi оцiнки мiстять у собi ряд сталих, для вiдшукання яких часто треба виконувати досить складні обчислення.

Тому, щоб оцiнити похибку наближеного розв’язку задачi (1) - (2), намагаються використати iнформацiю, яку дiстають в процесі чисельного розрахунку (такі оцінки називають апостеріорними). Найефективнiшим оцінюванням є використання оцiнки з подвiйним перерахунком.

Розглянемо детальнiше метод подвiйного перерахункудля таких трьох випадків [2]:

1) задано крок iнтегрування h i треба визначити точні цифри наближеного розв’язку в кожнiй вузловiй точцi ;

2) задано точнiсть ε>0, з якою треба обчислити наближений розв’язок задачi, добираючи належним чином як сам метод, так i крок iнтегрування h;

3) оцiнити похибку – вiдповiдно наближений і точний розв’язок задачi в кожнiй вузловiй точцi .

Для цього розв’язок задачi (1)-(2) у кожнiй вузловiй точці обчислюють двiчі: з кроком h i h/2. Позначатимемо їх вiдповiдно .

Десятковi розряди наближень , які збiгаються мiж собою, вважають точними цифрами наближеного розв’язку в точцi .

Якщо наближений розв’язок задачi (1)-(2) треба обчислити з наперед заданою точнiстю є>0, то, використовуючи метод певного порядку точностi, інтегрування з кроками h і h/2 доцiльно вести паралельно, щоб вчасно визначити неузгодженiсть мiж значеннями i, можливо, перейти до нового кроку.

Якщо ж у точцi значення задовольняють нерiвність то крок інтегрування для наступної точки треба збільшити, наприклад, подвоїти. Якщо то крок ітегрування ділять навпіл. Цим забезпечують автоматичний вибiр кроку iнтегрування.

Нарештi, наявнiсть наближених значень , обчислених вiдповiдно з кроком h i h/2, дає змогу наближено оцiнити похибку методу у точцi . Для одержання оцiнки похибки, припустимо, що виконуються такі умови: