Решение:
Если
,
то решений нет. Если
,
то
.
Если
,
то
,
откуда
или
.
Уравнение
не
имеет решений. Учитывая, что
,
из уравнения
получаем:
.
Ответ: ; .
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С2 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.
Решение:
Пусть
M
и N —
середины ребер AS
и BC
соответственно. Прямая AS
проектируется на плоскость основания
и прямую AN.
Поэтому проекция точки M —
точка
—
лежит на отрезке AN.
Значит, прямая AN
является проекцией прямой MN,
следовательно, угол
—
искомый.
где
O —
центр основания, значит,
—
средняя линия треугольника ASO
потому
—
AO.
Тогда
и
Из
прямоугольного треугольника
находим:
Из
прямоугольного треугольника
находим:
Значит,
искомый угол равен
Ответ:
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С3 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки. |
2 |
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Решите неравенство .
Решение:
Выполним преобразования:
;
.
Сделаем
замену:
.
Получим:
,
откуда
;
.
Решая
это неравенство, находим:
или
.
Если
,
то
или
.
Если
,
то
или
.
Ответ:
.
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С4 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
3 |
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ. |
2 |
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
Четырехугольник KLMP описан около окружности и вписан В окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.
Решение:
Лучи KL и NM пересекаются в точке P (см. рисунок).
Центры
и
О
окружностей, вписанных в треугольники
KPN
и LMP
соответственно, лежат на биссектрисе
МО
угла KPN.
Окружность, вписанная в четырехугольник
KLMP,
является также окружностью, вписанной
в треугольник KPN
и вневписанной окружностью треугольника
LMP.
Четырехугольник KLMP
вписан в окружность, следовательно
.
Но
,
откуда
.
Так как треугольники KPN
и LMP
имеют еще общий угол KPN,
они подобны, причем коэффициент подобия
равен отношению радиусов окружностей,
вписанных в эти треугольники.
Далее
имеем:
1)
(*);
2)
,
где p —
полупериметр треугольника LPM
равный длине отрезка AP;
3) из прямоугольного треугольника
ОAP
находим
,
откуда
.
Подставляя найденное
в
формулу (*), окончательно получаем
.
Ответ:
.
Ваша оценка (баллов):
Содержание критериев оценивания задачи С5 |
Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. |
4 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. |
3 |
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. |
2 |
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. |
1 |
Все прочие случаи. |
0 |
При каждом а решите систему уравнении