Решение:

Уравнение равносильно системе

Уравнение системы приводится к виду , откуда или . Уравнение не имеет решений. Учитывая, что , получаем: . Ответ: .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С2	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Верно описана геометрическая конфигурация, построен или описан геометрический объект, который нужно найти, но получен неверный ответ или решение не закончено.	1
Все прочие случаи.	0

В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми и .

Решение:

Так как прямая пересекается с прямой параллельной прямой и лежит в плоскости , параллельной , то расстояние между прямыми и равно расстоянию от прямой до плоскости .

Пусть АК — высота треугольника ABC. АК перпендикулярна , так как перпендикулярна плоскости ABC. Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка АК. Из равностороннего треугольника ABC находим:

.

Ответ: .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С3	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
При верной последовательности рассуждений получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	2
Получен ответ, отличающийся от верного только конечным числом точек.	1
Все прочие случаи.	0

Решите систему неравенств

Решение:

В первом неравенстве вынесем общий множитель за скобки, а во втором воспользуемся тем, что для , и справедлива равносильность:

.

Тогда

.

Ответ: .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С4	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации. В одном из случаев обоснованно получен верный ответ.	2
Рассмотрены только одна из возможных геометрических конфигураций. Для нее обоснованно получен верный ответ.	1
Все прочие случаи.	0

На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Решение:

Пусть точки Р и А лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный , поэтому

.

Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

.

Пусть теперь точки Р и А лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный , поэтому

.

Из прямоугольного треугольника ADH находим, что

.

Ответ: или .

Ваша оценка (баллов):

Содержание критериев оценивания задачи С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0

Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений.