Расчет прочности зубьев по контактным напряжениям

Исследованиями установлено, что наименьшей контактной прочностью на усталость обладает околополюсная зона поверхности зубьев. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять для контакта в полюсе зацепления.

Рисунок к выводу формулы контактных напряжений для прямозубой цилиндрической передачи.

Контакт зубьев рассматривается как контакт двух цилиндров с радиусами ρ₁ и ρ₂. При этом контактные напряжения определяются по формуле Герца, которую ранее применяли для расчета фрикционной передачи.

Сделаны допущения:

• Хотя поверхность зуба не является поверхностью кругового цилиндра, но, как и там, здесь контактные напряжения распространяются на очень малый объем и практически зависят только от радиуса кривизны в точке контакта.

• Формула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.

Чтобы воспользоваться формулой Герца в виде

,

необходимо определить радиусы кривизны ρ₁ и ρ₂ эвольвент зубьев в точке контакта. Согласно рисунку (см. выше), они равны:

и .

Отсюда приведенный радиус кривизны:

где ( +) для наружного зацепления; ( ^­_) для внутреннего зацепления.

Подставляя в формулу Герца значения ρ_пр, значения удельной нагрузки q, c учетом формул для сил в зацеплении и, заменяя ,

получаем:

.

Это условие прочности по контактным напряжениям. Параметр u=z₂/z₁ – отношение большего числа зубьев к меньшему числу. Отличается от передаточного отношения i , которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение . Формула условия прочности используется для поверочного расчета, когда известны все необходимые размеры и другие параметры передачи.

При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту Т₁ или Т₂ и передаточному числу u. С этой целью формулу условия прочности (формула Герца-Беляева) решают относительно диаметра d₁ или межосевого расстояния «a»,при этом, другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе опыта:

угол α_w ; K_Hv=1,15; ;

где ψ_bа= – коэффициент ширины шестерни относительно межосевого расстояния. Подставляя в формулу условия прочности и решая относительно d₁, находим:

(мм)

где T₁ – имеет размерность Нм, Е_пр и [σ_H] – в МПа.

Решая относительно межосевого расстояния, получают выражение:

(мм)

При расчете передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют формулу для « а », т.к. габариты передачи определяет преимущественно межосевое расстояние. По тем же соображениям в формуле для « а » момент Т₁ заменен на момент Т₂. Значение момента Т₂ на ведомом валу является одной из основных характеристик передачи, интересующих потребителя.

Примечание: Величина контактных напряжений от модуля и числа зубьев не зависит. Зависит лишь от диаметров начальных окружностей и ширины зубчатого венца колеса «b ». Поэтому можно как угодно уменьшать модуль m (с одновременным увеличением числа зубьев), не изменяя контактных напряжений.

Уменьшение модуля целесообразно, т.к. при этом:

• Уменьшаются потери на трение.

• Уменьшается трудоемкость нарезки зубьев.

• Повышается плавность вращения.

Анализ формулы показывает, что с увеличением допускаемого контактного напряжения в 1,5 раза уменьшение «а» составит 25%, а снижение массы примерно в 2 раза.

Выбор модуля и числа зубьев в закрытых передачах

Из расчета на контактную прочность определены размеры «a_w» и «b_w». Задавшись приемлемой величиной коэффициента ψ_m (из таблиц), находят «m», т.е.

,

где ψ_m – коэффициент ширины зубчатого венца относительно модуля.

Значение «m» согласуют со стандартом. Для силовых передач рекомендуется применять m мм.

Далее, для передач без смещения, определяется суммарное число зубьев по формуле:

– (целое без округления число).

И, далее:

.

При нарезании зубьев без смещения можно изготовить колесо лишь с z_{1min .} Вводя положительное смещение инструмента, исключают подрезание зубьев и получают z_1min = 12 и даже менее.

На практике минимальное число зубьев шестерни назначают не только из технологических, но и кинематических соображений (плавность, бесшумность и др.). Для уменьшения шума в быстроходных передачах рекомендуют брать z₁

Для окончательного утверждения выбранного значения модуля необходимо проверить прочность по напряжениям изгиба .

ЛЕКЦИЯ № 7 Расчет зубьев по напряжениям изгиба

Зуб имеет сложное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдается концентрация напряжений.

Рассмотрим приближенный метод как наиболее распространенный на практике. Неточности такого расчета принято компенсировать введением поправочных коэффициентов.

Допущения:

• Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив для 7-й, 8-й и более низких степеней точности (всего 12 степеней точности). Для более точных передач (6-й и выше) вводятся поправки.

• Зуб рассматривается как консольная балка, для которой справедлива гипотеза плоских сечений (или методы сопротивления материалов).

Силу Fn переносим по линии действия на ось симметрии зуба и раскладываем на составляющие Ft и F'r. При этом радиус приложения окружной силы Ft будет несколько больше радиуса начальной окружности. Пренебрегая этой разницей, для расчета сил сохраняем формулы, полученные ранее, т.е.

;

Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности, равны:

.

где W = – момент сопротивления изгибу; A = – площадь сечения.

Знак «–» в формуле указывает, что за расчетные напряжения принимают напряжения на растянутой стороне зуба, т.к. в большинстве случаев практики именно здесь возникают трещины усталостного разрушения.

Вместо абсолютных значений размеров l и s применяют приведенные безразмерные величины:

где m – модуль зубьев.

После их подстановки и введения расчетных коэффициентов имеем:

где – теоретический коэффициент концентрации напряжений; – коэффициент расчетной нагрузки.

Обозначим:

где Y_F – коэффициент формы зуба, безразмерная величина, зависит от числа зубьев и коэффициента смещения инструмента x (определяется по графикам).

Для проверочных расчетов прямозубых цилиндрических передач расчетную формулу изгибных напряжений записывают в следующем виде:

где - допускаемое напряжение изгиба,

K_F = k_Fβ k_Fν.

Анализ формулы показывает, что уменьшение модуля «m» и ширины зуба b_w способствует увеличению изгибных напряжений.

Расчет косозубых и шевронных цилиндрических передач

У косозубых колес зубья образуют с образующей делительного цилиндра некоторый угол β. Профиль косого зуба в нормальном сечении n-n совпадает с профилем прямого зуба. Модуль в этом сечении должен быть также стандартным. В торцовом сечении t-t параметры косого зуба изменяются в зависимости от угла β. Модуль в торцовом сечении называется окружным.

.

Окружной шаг:

.

Делительный диаметр:

.

Прочность зуба определяют его размеры и форма в нормальном сечении. Форму косого зуба в нормальном сечении принято определять через параметры эквивалентного прямозубого колеса.

Нормальное к зубу сечение образует эллипс с полуосями «с» и е»,

где c = r = d/2 и e= r/cosβ c – малая полуось эллипса.

Радиус кривизны эллипса на малой оси равен: r_v= e²/ c= r/cos²β>d/2.

Д елительный диаметр эквивалентного колеса будет равен: d _v= d/cos²β.

Число зубьев эквивалентного прямозубого колеса: z_v=d_v/m_n=d/m_n cos²β=mt z/mt cos³β, или z_v = z/cos³β.

Увеличение эквивалентных параметров (d_v и z_v) с увеличением угла β является одной из причин повышения прочности косозубых передач. При этой же нагрузке уменьшаются габариты передачи. Коэффициент формы зуба Y_F выбирается по z_v.