Гладкий кубический сплайн

Гладкие кубические сплайны

Фиксирован отрезок [a, b] и его разбиение a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Функция S называется гладким кубическим сплайном, если

Можно строить негладкие сплайны, т. е отказаться от непрерывности второй производной. Такие сплайны строить много проще, т. к. исчезают условия согласования, составляющие основную проблему построения гладкого сплайна.

Для того, чтобы строить сплайн, надо знать его значения в узлах разбиения y0, y1, . . . , yn и значения первых производных в тех же точках m0, m1, . . . , mn. Ïî òà- ким даным на каждом отрезке однозначно восстанавливается кубический многочлен. Они в совокупности и образуют сплайн. Но это негладкий сплайн, т. к. нет гарантии

непрерывности второй производной. Заметим, что при построении таких сплайнов естественно полагать mk = f0(xk), если интерполируемая функция известна и лег-

ко вычисляется. Если задана только таблица значений функции в узлах, то обычно берут mk равным значению P 0(xk), где P квадратичный многочлен, проходящий

через точки (xk−1, yk−1), (xk, yk), (xk+1, yk+1).

Для того, чтобы построить гладкий сплайн, надо считать величины m1, . . . , mn−1 неизвестными параметрами и находить их из условия гладкости.

Величины m0, mn должны быть заданы. Обычно их фиксируют на основании краевых условий α0S(a) + β0S0(a) = γ0, α1S(b) + β1S0(b) = γ1.

Здесь для упрощения выкладок мы полагаем известными S0(a) = m0 è S0(b) = mn. Периодический сплайн полностью определен значениями в узлах сетки при условии y0 = yn.

Рассмотрим сначала более простую задачу.

Алгоритм построения негладкого сплайна

1) Построение многочлена pk на отрезке [xk, xk+1].

Информация о значениях производной в точках xk, xk+1 позволяет строить мно- гочлен Ньютона по модифицированной таблице разделенных разностей (проведен предельный переход: там, где узлы совпали, появляются производные:

1

искомый многочлен pk(x) = yk + mk(x − xk) + r1(2)(x − xk)2 + r1(3)(x − xk)2(x − xk+1). Легко проверить, что p(xk+r) = yk+r, p0(xk+r) = mk+r, r = 0, 1

p00k(x) = 2r1(2) + 2r1(3)(3x − 2xk − xk+1). 2) Описание сплайна.

S(x) = pk(x) ïðè x [xk, xk+1], k = 0, 1, . . . , n − 1.

Алгоритм построения гладкого сплайна

1) Формирование системы уравнений для определения чисел mk производных сплайна в узловых точках.

Полагая эти числа неизвестными параметрами, мы можем с их помощью описать многочлены, формирующие сплайн, как это сделано выше, и в каждом внутреннем узле получить по уравнению условию согласования:

В этой системе n − 1 уравнение и n + 1 неизвестная величина. Мы будем рассматривать вариант простейших краевых условий, считая, что m0 = f0(x0) è mn = f0(xn). Приведем систему к стандартному виду Ax = b:

x1 = m1, ..., xn−1 = mn−1

a1,1 = 2, a1,2 = µ0, b1 = c0 − λ0m0

ak,k−1 = λk−1, ak,k = 2, ak,k+1 = µk−1, bk = ck−1, k = 1, 2, . . . , n − 1

an−1,n−2 = λn−2, an−1,n−1 = 2, bn−1 = cn−2 − µn−2mn.

Матрица A трехдиагональная: ai,j = 0 åñëè |i − j| > 1.

2)Решаем систему и получаем значения производных сплайна в узлах.

3)Пользуемся рассмотреной выше схемой построения сплайна в том случае, когда

âузлах известны значения сплайна и его производной.

2а) Рассмотрим отдельно случай периодического сплайна. Для него таблица зна- чений может быть расширена:

Здесь x−1 = x0−(xn−xn−1), xn+1 = xn+(x1−x0). Дальнейшее расширение таблицы не даст новых уравнений из-за периодичности. Возникают только условия согласования в точках x0 è xn. Прямая проверка показывает, что эти уравнения одинаковые:

λ−1mn−1 + 2m0 + µ−1m1 = c0,

В системе прибавилось одно уравнение и добавилось одно неизвестное m0 (â ñè- лу периодичности m0 = mn), теперь из нее находятся все неизвестные параметры m0, ...,mn−1. Матрица коэффициентов “почти“ трехдиагональная, лишние ненулевые

2

элементы возникают только в углах матрицы. Опишем в этом случае стандартную систему Ax = b:

x1 = m0, ..., xn = mn−1

a1,1 = 2, a1,2 = µ−1, a1,n = λ−1, b1 = c−1

в первом уравнении учтено, что m−1 = mn−1, а в последнем, что m0 = mn.

Метод решения систем Ax = b с ленточной матрицей коэффициентов (прогонка)

Обратный ход прогонки.

По имеющимся формулам последовательно восстанавливаем xn−1, . . . , x1.

3

Форма отчета (описание сплайна)

Таблица коэфициентов многочленов Ньютона для каждого из отрезков

yk,mk,r1(2),r1(3)

Таблица

x,f(x),S(x),S(1)(x),S(2)(x) эти числа должны быть представлены для

4