85

Л Е К Ц И И 13 - 14

Тема. Уравнения эллиптического типа. Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Решение задачи Дирихле для круга.

Задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа. Постановка краевых задач

1. Стационарное температурное поле. Ранее мы получили, что температура нестационарного теплового поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности . Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры , не меняющееся с течением времени и, следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа

. (1)

При наличии источников тепла получаем уравнение

. (2)

Неоднородное уравнение Лапласа (2) называют уравнением Пуассона.

Рассмотрим некоторый объем T, ограниченный поверхностью . Задача о стационарном распределении температуры внутри тела T формулируется следующим образом:

Найти функцию , удовлетворяющую внутри T уравнению

и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

I		на 	(первая краевая задача)
II		на 	(вторая краевая задача)
III		на 	(третья краевая задача)

где - заданные функции, - производная по внешней нормали к поверхности . Физический смысл этих граничных условий очевиден. Первую краевую задачу для уравнения Лапласа часто называют задачей Дирихле, а вторую задачу - задачей Неймана.

Если ищется решение в области T внутренней (или внешней) по отношению к поверхности , то соответствующую задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей.

2. Потенциальное течение жидкости. Пусть внутри некоторого объема T с границей  имеет место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность  = const), характеризуемое скоростью . Если течение жидкости не вихревое, то скорость v является потенциальным вектором, то есть,

v = grad , (3)

где   скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если отсутствуют источники, то

div v = 0. (4)

Подставляя сюда выражение (3) для v, получим:

div grad  = 0

или

, (5)

т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.

3. Потенциал стационарного тока.

Пусть в однородной проводящей среде имеется стационарный ток с объемной плотностью . Если в среде нет объемных источников тока, то

div j = 0. (6)

Электрическое поле E определяется через плотность тока из дифференциального закона Ома

, (7)

где  - проводимость среды. Поскольку процесс стационарный, то электрическое поле является безвихревым или потенциальным, то есть, существует такая скалярная функция для которой

E = grad  (j =  grad ). (8)

Отсюда на основании формул (6) и (7) заключаем, что

, (9)

то есть, потенциал электростатического поля стационарного тока удовлетворяет уравнению Лапласа.

3. Потенциал электростатического поля. Рассмотрим электрическое поле стационарных зарядов. Из стационарности процесса следует, что

rot E = 0,

то есть, поле является потенциальным и

E = grad .

Пусть - объемная плотность зарядов, имеющихся в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной . Исходя из основного закона электродинамики

,

где T – некоторый объем, S – поверхность, его ограничивающая, - сумма всех зарядов внутри T, и пользуясь теоремой Остроградского

,

получаем:

div E = 4.

Подставляя сюда выражение (8) для E, будем иметь:

,

то есть, электростатический потенциал  удовлетворяет уравнению Пуассона. Если объемных зарядов нет ( = 0), то потенциал  должен удовлетворять уравнению Лапласа .

Основные краевые задачи для рассмотренных процессов относятся к трем типам, приведенным выше.

Фундаментальные решения уравнения Лапласа Рассмотрим уравнение Лапласа

,

где оператор Лапласа в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат определяется соответственно

; (1)

; (2)

. (3)

Важную роль при решении задач для уравнений Лапласа и Пуассона представляет решение уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической симметрией.

Найдем решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию сферической симметрии, когда функция u зависит только от расстояния точки до начала координат. В этом случае уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет вид

. (4)

Интегрируя уравнение (13), получим

, , .

При и получаем функцию

, (5)

которая удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки , где она обращается в бесконечность. Такую функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. С точностью до множителя пропорциональности она совпадает с полем точечного заряда e, помещенного в начале координат, потенциал этого поля равен

.

В задаче с осевой симметрией, когда функция u в цилиндрической системе координат не зависит от  и z, уравнение Лапласа имеет вид

. (6)

Интегрируя уравнение (6), находим

, , .

Полагая и , будем иметь

, .

Эту функцию называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости. Аналогично, функция удовлетворяет уравнению Лапласа всюду, кроме точки , где она обращается в бесконечность, и с точностью до множителя совпадает с полем заряженной линии, потенциал которого равен

,

где - плотность заряда, рассчитанная на единицу длины.