Уравнения характеристик и общие интегралы
Рассмотрим теперь задачу преобразования
исходного уравнения в частных производных
к более простому виду, например,
преобразуем так, чтобы в преобразованном
уравнении коэффициенты
в области
оказались равными нулю, то есть
=0
=0.
Представим эти уравнения в виде:
,
.
Разрешив их
относительно
и
,
получим:
и
,
(8)
где
.
Квадратные уравнения имеют одинаковые
коэффициенты, следовательно, будут
иметь одинаковые корни. Обозначим эти
корни как
и
.
В этих выражениях
предполагается, что
.
Если это условие не выполнено, то
уравнения будут линейными, и будут иметь
простые решения. Решения квадратных
уравнений можно записать в виде
,
.
(9)
Докажем, что система уравнений в частных производных (10) эквивалентна системе обыкновенных дифференциальных уравнений:
и
.
(10)
В самом деле,
пусть функции
и
есть общие интегралы уравнений (10), то
есть, постоянны вдоль решения этой
системы.
Тогда полное приращение этих функций вдоль решения будет равен нулю:
,
.
Откуда получим
,
.
В силу равенств (10) получим
,
.
Преобразуя
эти равенства, получим
,
.
То есть, все решения системы (10) являются
также решениями системы (9). Можно
доказать, что верно и обратное утверждение.
Следовательно, системы (9) и (10) эквивалентны.
Общие интегралы уравнений (10) и образуют два семейства кривых, называемых характеристиками уравнения (3). Уравнения (10) называются дифференциальными уравнениями характеристик.
Канонический вид гиперболических, параболических и эллиптических уравнений
При помощи
общих интегралов определяются новые
переменные и, поэтому форма записи
уравнения в новых переменных будет
зависеть от дискриминанта
.
Рассмотрим все возможные случаи
.
1) Дискриминант
в области
.
Гиперболический тип уравнения. В этом
случае правые части уравнений (10) будут
действительными и различными функциями.
Решая эти дифференциальные уравнения
найдем два общих интеграла
и
.
Тогда, согласно доказанному выше, полагая
в качестве новых переменных
,
,
получим
и в новых переменных исходное уравнение
будет иметь следующий вид
.
Преобразуя, получим
,
.
Это и есть каноническая форма гиперболического уравнения. Приведем еще одну каноническую форму для гиперболических уравнений. Для этого введем новые переменные
,
.
Вычислим частные производные
,
.
Подставляя эти выражения в первую каноническую форму, получим
,
Это вторая каноническая форма для гиперболических уравнений.
2) Дискриминант
в области
.
Параболический тип уравнений. В этом
случае решения уравнений (10) совпадают
и в результате решения этих уравнений
получим только один общий интеграл
.
Возьмем в качестве новой переменной
.
В качестве второй переменной возьмем
любую функцию
,
функционально не зависящую от
,
то есть такую, что
.
При таком выборе получим
.
При этом
в силу произвольности
.
Кроме того,
=
.
Учитывая это, получим
,
.
Получили каноническую форму для параболических уравнений.
3) Пусть
дискриминант
в области
.
Эллиптический тип уравнений. В этом
случае правые части уравнений (10) будут
комплексными функциями. Тогда общий
интеграл также будет комплексной
функцией. Обозначим эту функцию через
.
Сопряженная к ней
также будет общим интегралом. Тогда
можно ввести новые комплексные переменные
,
.
В результате введения этих переменных, как и в случае гиперболических уравнений, получим - канонический вид эллиптических уравнений. Рассмотрим также и другую каноническую форму с вещественными переменными. Для этого введем новые, вещественные переменные
,
.
Откуда
получим
.
Вычисляя коэффициенты по формулам (6)
получим вторую каноническую форму для
эллиптических уравнений
.
Пример
1. Уравнение в частных производных
,
заданное в области
,
преобразовать к каноническому виду.
Решение. Вычислим дискриминант данного уравнения
.
Следовательно,
данное уравнение гиперболического
типа. Составим характеристическое
уравнение
Откуда получим
,
.
Решим эти дифференциальные уравнения
методом разделения переменных:
Откуда, интегрируя,
получим
или
.
Аналогично решим второе уравнение
Таким образом,
общие интегралы будут такими
.
Введем, согласно общей теории
преобразований, новые переменные
.
По
формулам (5) для частных производных
найдем выражения в новых переменных:
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим канонический вид в новых переменных:
Пример 2. Преобразовать в канонический вид уравнение
Решение.
Вычислим дискриминант
.
Дискриминант равен нулю и, следовательно,
уравнение параболическое. Составим
характеристическое уравнение:
или
Откуда
и общий интеграл этого уравнения будет
Введем новые
переменные
и найдем выражения для частных производных
в новых переменных
Подставляя в
исходное уравнение эти выражения,
получим
- канонический вид исходного уравнения.
Пример 3. Преобразовать в канонический вид уравнение
Решение.
Вычислим дискриминант
Следовательно, уравнение эллиптическое.
Составим характеристическое уравнение
Решая это уравнение, получим
Откуда
,
Тогда общими интегралами будут
Обозначим через
и введем новые переменные
Вычисляя по формулам (5) частные производные
и подставляя их в исходное уравнение,
получим
- каноническая форма для исходного
уравнения.
Пример 4.
Уравнение в частных производных
,
заданное в области
,
преобразовать к каноническому виду.
Решение.
Вычислим дискриминант
.
Следовательно, уравнение является
гиперболическим. Составим уравнения
характеристик
,
.
Решим эти уравнения методом разделения переменных. Преобразуем к виду
,
и интегрируя, получим
;
.
Следовательно,
интегралами будут
и
.
Новыми переменными в этом случае будут
и
.
По формулам (6) вычислим коэффициенты нового уравнения:
,
,
,
,
,
,
.
Подставим их в уравнение (5а) и получим:
.
Выразим x и
y через
и и получим
канонический вид исходного уравнения
.
Пример
5. Уравнение
,
преобразовать к канонической форме.
Решение.
Вычислим дискриминант
.
Составим
характеристические уравнения:
,
.
Решим их методом разделения переменных:
,
Интегрируя,
получим
,
.
Следовательно, новыми переменными будут
,
.
Введем вещественные переменные
и
.
Вычисляя все коэффициенты нового уравнения по формулам (6) получим искомый канонический вид
.