Дифференциальные уравнения

1. Какие уравнения называются дифференциальными? Приведите примеры?

2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

3. Какое решение дифференциального уравнения называется - общим и какое - частным?

4. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?

5. Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?

6. Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?

7. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?

8. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического уравнения?

9. В чём заключается задача Коши? Каков его геометрический смысл?

10. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделёнными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

1. Выражают производную функции через дифференциалы и .

2. Члены с одинаковыми дифференциалами переносят в одну сторону равенства и выносят дифференциал за скобку.

3. Разделяют переменные.

4. Интегрируют обе части равенства и находят общее решение.

5. Если заданны начальные условия, то находят частное решение.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка.

1. Определить вид дифференциального уравнения первого порядка:

А)

Б) , где .

2. В зависимости от вида уравнения выбрать алгоритм:

А)

А.1. Используя подстановку , находят и подставляют эти выражения в уравнение:

Данное уравнение примет вид: .

А.2. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы вынести за скобку:

;

Из скобки, приравняв её к нулю, найти функцию .

А.3. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят функцию .

А.4. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций и в равенство :

А.5. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.

Б.1. Определить значения и , и записать общее решение в виде: .

Дифференциальное уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение Бернулли решают тем же методом, что и линейные дифференциальные уравнения (т.е. сводятся к последовательности уравнений с разделяющимися переменными по той же схеме, что и линейное уравнение - подстановкой).

Алгоритм решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах .

1.Проверить условие: .

2. Найти функцию , решив систему уравнений:

3. Записать общее решение в виде

Алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представим в виде таблицы.

Дифференциальное уравнение
Характеристическое уравнение
Дискриминант
Корни характеристического уравнения
Множества решений

Ряды

1.Дайте определение числового ряда.

2. Что такое частичная сумма ряда?

3. Какой ряд является сходящимся (расходящимся)?

4. Как определяется сумма числового ряда?

5. Запишите необходимый признак сходимости ряда.

6. Запишите предельный признак сравнения числовых рядов с положительными членами.

7. Запишите признак Даламбера сравнения числовых рядов с положительными членами.

8. Запишите радикальный признак Коши сравнения числовых рядов с положительными членами.

9. Запишите интегральный признак Коши – Маклорена сравнения числовых рядов с положительными членами.

10. Запишите признак абсолютной сходимости числового ряда.

11. Какой числовой ряд является условно сходящимся?

12. Дайте определение степенного ряда.

13.Как определяется радиус сходимости степенного ряда?