Функции нескольких переменных
1. Дайте определение функции двух переменных.
2. Как находится значение функции двух переменных в заданной точке?
3.
Какая область
называется замкнутой?
4. Как находится частная производная функции двух переменных первого порядка? Второго порядка? Смешанная частная производная?
5. Каков геометрический смысл частных производных?
6. Как находится полный дифференциал функции двух переменных?
7. Каков геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?
8. Запишите необходимый признак экстремума функции двух переменных?
9. Запишите достаточный признак экстремума функции двух переменных?
10.Каков алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных?
11. Как определяются касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявной функцией?
12. Каков геометрический смысл производной по направлению?
13.Как определяется скорость изменения величины поля в том или ином направлении?
14. Каков геометрический смысл градиента функции?
15. Как определяется наибольшая скорость изменения функции?
Частные производные первого и второго порядка функции нескольких переменных. Алгоритм вычисления частных производных функций двух переменных
Пусть
задана функция
.
1.
Для нахождения частной производной
функции
:
дифференцируем функцию
по переменной
(полагая
)
по обычным правилам.
2.
Для нахождения частной производной
функции
:
дифференцируем функцию
по переменной
(полагая
)
по обычным правилам.
3.
Для нахождения второй частной производной
функции
:
дифференцируем функцию
по переменной
(полагая
)
по обычным правилам.
4.
Для нахождения второй частной производной
функции
:
дифференцируем функцию
по переменной
(полагая
)
по обычным правилам.
5.
Для нахождения смешанной частной
производной функции
:
дифференцируем функцию
по переменной
(полагая
)
по обычным правилам или дифференцируем
функцию
по переменной
(полагая
)
по обычным правилам.
Дифференциал функции.
Алгоритм вычисления дифференциала функции двух переменных
1. Найдём частную производную первого порядка по переменной : .
2. Найдём частную производную первого порядка по переменной : .
3.
Подставим найденные частные производные
в формулу:
.
Производная по направлению и градиент скалярного поля (для функции двух или трёх переменных)
Алгоритм вычисления производной по направлению и градиента скалярного поля (для функции двух или трёх переменных)
1.
Для поля (функции)
находим её частные производные .
2.
Вычисляем градиент
по формуле:
.
Примечание.
Если указана
точка
,
в которой надо вычислить градиент, то
это значения частных производных в этой
точке.
3.
Вычисляем производную
по направлению
в точке
:
;
Направляющие
косинусы
находятся по формуле:
где
.
Примечание. В случае двух переменных применяем аналогичные формулы:
где
теперь
;
.