2. Заданы вершины треугольника .

2.1. Вычисление площади треугольника.

1. Вычислить модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов : .

2. Площадь треугольника соответственно равна: .

2.2. Вычисление угла между двумя векторами

1. Вычислить скалярное произведение векторов и по формуле: .

2. Вычислить длину вектора : .

3. Вычислить длину вектора : .

4. Вычислить косинус угла между векторами .

5. Выписать ответ: .

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов

1. Даны векторы .

А) вычисление смешанного произведения векторов . Вычисление смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов вычисляется по следующей формуле: .

Б) модуль векторного произведения векторов . Модуль смешанного произведения трёх неколлинеарных векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, т.е. .

В) вычисление скалярного произведения векторов . Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: .

Г) проверьте, будут ли коллинеарны или ортогональны какие – либо два из трёх заданных векторов. Векторное (скалярное) произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Д) проверьте, будут ли компланарны три заданных вектора. Смешанное произведение трёх ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Прямая на плоскости

1. Дан треугольник с вершинами .

Выполнить чертёж. Найдите:

А) уравнение стороны . Находится по формуле: .

Б ) уравнение высоты :

1. Написать уравнение прямой , проходящей через точки и , по формуле: .

2. Записать полученное уравнение в виде: .

3. Использовать условие перпендикулярности двух прямых и найти угловой коэффициент прямой: или .

4. Написать уравнение прямой : .

В) уравнение медианы :

1.Определить координаты точки середины вектора : .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и ,по формуле: .

Г) точку пересечения медианы и высоты :

Решить систему уравнений ,составленных из уравнений прямых и ( см. п.Б и В).

Д) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно стороне :

1. Записать уравнение прямой (см. п.А).

2. Записать его в виде .

3. Использовать условие параллельности двух прямых и найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой : .

4. Написать уравнение искомой прямой, проходящей через точку : .

Е) расстояние от точки до прямой :

1. Выписать совместно уравнения прямых : и .

2. Найти решение полученной системы уравнений . Это координаты точки пересечения прямой и .

3. Найти длину отрезка по формуле: .

Плоскость и прямая в пространстве

1. Даны четыре точки . Выполните чертёж. Составьте уравнения:

А) плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой, в координатной форме определяется по формуле ( определитель вычислять по правилу треугольника):

,

Затем представить уравнение плоскости в общем виде: .

Б) прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки находится по формуле: .

В) прямой , перпендикулярной плоскости

В качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости , т.е. и по формуле получаем искомую прямую.

Г) прямой , проходящей через точку , параллельно прямой

В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор . По формуле

получаем искомую прямую.

Д) плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

1. Выписать координаты направляющего вектора данной прямой : .

Найдём вектор, заданный точками ; имеем , откуда имеем ,т.е.

. Этот вектор является вектором нормали для искомой плоскости.

2. Написать уравнение плоскости .

Затем представить уравнение плоскости в общем виде: .

Вычислите:

Е) синус угла между прямой и плоскостью

1) Записать уравнение прямой в каноническом виде: , иначе в виде

.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой, в координатной форме определяется по формуле:

Т.е. в общем виде: (см. п.а ).

3.Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: .

Ж) косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью .

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Пусть две не пересекающиеся плоскости и имеют нормальные векторы и . Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле: .

В качестве возьмём нормальный вектор плоскости , а для плоскости .