Лабораторна робота № 2-3 Теорія виробництва. Теоретична частина

Задача лінійного програмування – основна задача теорії виробництва. Вона полягає у наступному: визначення максимального та мінімального значення заданої цільової функції F(x₁;x₂….x_n) = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n, на системі обмежень, заданих рівностями або нерівностями вигляду:

a_i1x₁ +…+ a_inx_n ≤ b_i

a_k1x₁ +…+ a_knx_n = b_k

a_l1x₁+…+ a_lnx_n ≥ b_l

Дана функція називається цільовою або лінійною формою задачі, а умова називається обмеженнями даної задачі.

Сукупність чисел х = (х₁,х₂,…х_i), що задовольняють обмеженням задачі називається допустимим розв’язком.

Допустимий розв’язок, при якому цільова функція задачі приймає своє максимальне або мінімальне значення називається оптимальним.

Розглянемо приклади розв’язування найбільш поширених типів задач лінійного програмування.

Приклад:

Фірма виробляє дві моделі А і В книжкових полок. Їх виробництво обмежено наявністю сировини (високоякісних дошок) і часом машинної обробки. Для кожного виробу моделі А потрібно 3 м² дошок, а для виробу моделі В – 4 м². фірма може отримувати від своїх поставників до 1700 м² дошок на тиждень. Для кожного виробу моделі А потрібно 12 хв. машинного часу, а для виробу моделі В – 30 хв. За тиждень можна використовувати 160 год. Машинного часу. Скільки виробів кожної моделі слід випускати фірмі за тиждень, якщо кожен виріб моделі А приносить 2 грн. прибутку, а кожен виріб моделі В – 4 грн. прибутку?

Розв’язання.

Складемо математичну модель. Позначимо: х – кількість виробів моделі А, що випускаються на протязі тижня, у — кількість виробів моделі В. Прибуток від цих виробів рівна 2х+4у грн. Цей прибуток потрібно зробити максимальним. Функція, для якої шукається екстремум (максимум або мінімум), носить назву цільової функції. Безмежному збільшенню кількості виробів запобігають обмеження. Обмежена кількість матеріалу для полок, звідси нерівність . Обмежений машинний час на виготовлення полок. На виріб А йде 0,2 год., на виріб В — 0,5 год., а всього не більш 160 год., тому . Крім того, кількість виробів невід’ємне число, тому .

Формально наша задача оптимізації записується наступним чином:

Тепер розв’яжемо цю задачу в Excel. Створіть нову робочу книгу.

Введіть в комірки робочого листа інформацію (рис. 1).

Коміркам В2 і ВЗ присвойте імена х та у. В комірках С6, С9 та С10 представлені формулі, занесені у відповідні комірки стовпця В.

Виділимо комірку, в якій обчислюється цільова функція, і викличемо Solver («Сервис/ Поиск решения»). В діалоговому вікні в полі вводу «Установить целевую ячейку:» уже міститься адрес комірки з цільовою функцією $В$6. Встановимо перемикач: «Равной максимальному значению». Перейдемо до поля введення «Изменяя ячейки:». В нашому випадку достатньо клацнути кнопку «Предположить» и в полі введення з’явиться адреса блоку Перейдемо до введення обмежень. Клацнемо кнопку «Добавить». З’явиться діалогове вікно «Добавление ограничения». В поле введення «Ссылка на ячейку:» вкажіть $В$9. Правіше розташований випадаючий список з умовними операторами (розкрийте його і подивіться). Виберемо умову . В поле введення «Ограничение:» введіть число 1700. У нас є ще одне обмеження, тому, не виходячи з цього діалогового вікна, клацніть кнопку «Добавить» і введіть обмеження $В$10160.

	A	B	C	D
1	Змінні
2	Виріб А	0	X
3	Виріб В	0	У
4
5	Цільова функція
6	Прибуток	0	=2*х+4*у
7
8	Обмеження
9	Матеріал	0	=3*х+4*у	<=1700
10	Час виготовлення	0	=0.2*х+0.5*у	<=160

Рис. 1

Клацніть кнопку «Параметры». Встановіть два прапорця «Линейная модель» і «Неотрицательные значения» (для змінних х та у).

Ми повністю підготували задачу оптимізації. Натискаємо кнопку «Выполнить». З’являється діалогове вікно «Результаты поиска решения». В ньому ми читаємо повідомлення «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.» На вибір пропонуються варіанти: «Сохранить найденное решение» або «Восстановить исходные значения». Вибираємо перше.