Правила выбора формы средней величины

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих двух показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Пример.

Необходимо определить среднюю урожайность зерновых культур сельскохозяйственных предприятий по следующим данным:

Культура	Предприятие 1		Предприятие 2		Предприятие 3
	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га	Валовой сбор, ц	Посевная площадь, га
Пшеница	32500	25	1540	20	30800	1400
Рожь	1620	18	120	19	2140	107
Ячмень	13640	22	460	18	10500	500
Просо	1650	15	80	13	1330	95

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на единицу первичного признака (посевной площади) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно:

_{У = ВС / ПП,}

где У – урожайность, ВС – валовой сбор, ПП – посевная площадь.

Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необходимо применить среднюю взвешенную, но какую: арифметическую или гармоническую?

Для первого предприятия средняя урожайность должна определяться по правилу 2, так как известно численное значение числителя в логической формуле средней величины, а именно показатель валового сбора. Значение знаменателя (посевную площадь) можно определить так:

_{ПП = ВС / У.}

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию 1:

_{У1 = ВС / (ВС/У),}

где в качестве веса выступает валовой сбор.

Эта формула расчета средней гармонической взвешенной:

_ц/га

Экономический смысл слагаемых знаменателя: 1300 га – посевная площадь, занятая под озимой пшеницей; 90 га – под рожью; 620 га – под ячменем; 110 га – под просом; 2120 га – общая посевная площадь предприятия 1.

Для сельскохозяйственного предприятия 2 средняя урожайность определяется по правилу 1. В условиях задачи присутствует численное значение знаменателя – показатель посевной площади. Исходя из логической формулы средней величины числитель (валовой сбор) можно определить так:

_{ВС = У * ПП.}

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию 2:

_{У2 = У*ПП / ПП,}

где в качестве веса выступает посевная площадь.

Это формула средней арифметической взвешенной:

_ц/га.

Смысл слагаемых числителя: 30800 ц – валовой сбор пшеницы; 2280 ц – ржи; 8280 ц – ячменя; 1040 ц – проса; 42400 ц – суммарный валовой сбор на сельскохозяйственном предприятии 2.

Средняя урожайность на предприятии 3 определяется по правилу 3, а именно, делением суммы валового сбора на сумму посевных площадей:

_ц/га.

Средняя геометрическая чаще всего используется при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с предыдущим годом: i₁, i₂, i₃, ..., i_n. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется его начальным уровнем (q₀) и последующим наращиванием по годам:

_{qn = q0 * i1 * i2 * ... * in.}

Приняв q_n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению:

_{qn = q0 * i1 * i2 * ... * in.= q0 * (iср)n,}

Отсюда