2.6. Минимизация частичных булевых функций

Пусть булева функция определена не на всех наборах значений своих переменных. Такая функция называется частичной или не всюду определенной.

Обозначим через множество наборов, на которых функция принимает значение 1, через – множество наборов, на которых функция принимает значение 0, через – множество наборов, на которых функция принимает значение “–“. Будем иметь в виду, что для задания частичной функции достаточно ограничиться парой из вышеперечисленных множеств. Обычно рассматривают множества и .

Приведем пример таблицы частичной функции:

			f
0	0	0	1
0	0	1	–
0	1	0	–
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	–
1	1	0	1
1	1	1	0

Табличное задание булевой функции мало пригодно из-за своей громоздкости. Использование формул для представления частичной функции требует ее доопределения до полностью определенной функции. Частичная функция может быть доопределена заменой значения “–“ на 0 или 1. Если s – число символов “–“ в таблице, то возможно доопределений частичной функции до полностью определенной.

Как и в случае полностью определенной функции, будем представлять частичные функции минимальными и кратчайшими ДНФ. Каждая из полученных в результате доопределения полностью определенных булевых функций может быть представлена в виде минимальной, или кратчайшей, ДНФ. Лучшую из минимальных (кратчайших) ДНФ естественно считать минимальной (кратчайшей) ДНФ частичной функции.

Обозначим через множество наборов, на которых ДНФ D принимает значение 1. Будем говорить, что ДНФ D реализует частичную функцию, если выполняются условия

 ,  =.

Очевидно, что реализующая частичную функцию ДНФ D получена некоторым доопределением частичной функции.

Определение. Интервал называется допустимым для частичной функции, если выполняются условия

  ,

 = .

Сопоставляемая интервалу конъюнкция называется допустимой конъюнкцией частичной функции.

Определение. Допустимый интервал частичной функции называется максимальным интервалом, если не существует объемлющего его допустимого интервала частичной функции такого, что

 .

Соответствующая максимальному интервалу конъюнкция называется простой импликантой частичной функции.

Простая импликанта частичной функции обладает теми же свойствами, что и простая импликанта полностью определенной булевой функции.

Определение. Дизъюнкция всех простых импликант частичной функции называется ее сокращенной ДНФ.

Минимальная и кратчайшая ДНФ частичной функции получаются из сокращенной ДНФ частичной функции, так же как и для полностью определенной функции.

КАДР

Теорема 2.9. Минимальная ДНФ частичной функции f( ,…, ) получается из ее сокращенной ДНФ путем выбрасывания некоторых конъюнкций.

Доказательство аналогично доказательству теоремы о минимальной ДНФ полностью определенной функции.

Теорема 2.10. Кратчайшая ДНФ частичной функции f( ,…, ) может быть получена из сокращенной ДНФ путем выбрасывания некоторых конъюнкций.

Доказательство аналогично доказательству теоремы о сокращенной ДНФ полностью определенной функции.

Итак, необходимо построить сокращенную ДНФ частичной функции f( ,…, ) для того, чтобы из нее получить минимальную (кратчайшую) ДНФ.

Сокращенная ДНФ может быть получена следующим образом:

1. Заменим все символы “–“ в таблице частичной функции значением 1. Обозначим полученную полностью определенную функцию через ( ,…, ).

2. Построим для ( ,…, ) сокращенную ДНФ.

3. Исключим из нее конъюнкции, не являющиеся простыми импликантами частичной функции.

4. Оставшиеся конъюнкции представляют сокращенную ДНФ частичной функции.

Далее можно построить таблицу Квайна.

В ней строкам сопоставляются простые импликанты частичной функции, а столбцам – элементы множества . Элемент (i, j) равен 1, если конъюнкция, сопоставляемая i-й строке, поглощает конъюнкцию, сопоставляемую j-му столбцу.

Безызбыточному покрытию столбцов таблицы строками сопоставляется безызбыточная (тупиковая) ДНФ частичной функции f( ,…, ). Минимальному покрытию – минимальная ДНФ, кратчайшему покрытию – кратчайшая ДНФ.

Заметим, что в таблице Квайна, построенной для частичной функции, число единичных компонент в строке не обязательно равно степени 2.

КАДР