Функция Эйлера
Функция Эйлера φ(n), где n – натуральное число, дает количество натуральных чисел, не превышающих n и взаимно простых с n. Иначе говоря, φ(n)=k, где 0<kn; (k,n)=1.
Теорема
,
где pi
– все простые делители n.
(
- произведение по всем простым делителям
числа n).
# В теореме Лежандра заменим ai на pi, где pi – простые делители n.
Тогда
(так как pi
делят n нацело).
По теореме Лежандра
. #
Пример. Определим, сколько чисел, не превышающих 100, взаимно простые с 100. Разложим число 100 на простые сомножители: 100=2·2·5·5=2252. Таким образом, у числа 100 два простых делителя – 2 и 5. По формуле Эйлера получаем
.
Таким образом, среди первой сотни есть 40 чисел, взаимно простых с 100.
Функция Мебиуса
Функция Мебиуса (n), где n – натуральное число, принимает следующие значения:
Функция Мебиуса позволяет записать функцию Эйлера в виде суммы:
.
Суммирование идет по всем делителям n (а не только по простым делителям).
Пример. Вычислим φ(100), используя функцию Мебиуса.
Все делители 100 – {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.
(1) = 1,
(2) = (-1)1 = -1 (у двойки один простой делитель – 2)
(4) = 0 (4 делится на квадрат двойки)
(5) = (-1)1 = -1 (у 5 один простой делитель – 5)
(10) = (-1)2 = 1 (у 10 два простых делителя – 2 и 5)
(20) = 0 (20 делится на квадрат двойки)
(25) = 0 (25 делится на квадрат пятерки)
(50) = 0 (50 делится и на 22, и на 55)
(100) = 0 (100 делится и на 22, и на 55)
Таким образом,
Свойство функции Мебиуса:
.
Например, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.
.
Теорема о числе способов выбораk-элементов, среди которых нет двух соседних, изnэлементов, расположенных в ряд. Доказать с помощью получения рекуррентной формулы.Теорема о числе сочетаний с повторениями. Доказать с помощью получения рекуррентной формулы.
Шаг 1: Вводим обозначения – обозначим число r-сочетаний с повторениями из n-множества S через f(n,r)
Шаг 2: Начальные условия: f(n,1)=n; f(1,r)=1
Шаг 3: Логические рассуждения
Как правило, из множества S выделяется какой-либо элемент и фиксируется. Чаще всего – первый из ряда.
Тогда относительно нашего случая о любом r-сочетании с повторениями, можно сказать, содержит оно фиксированный элемент или не содержит.
Если содержит, то остальные (r-1) элементов этого r-сочетания (а, значит, r-сочетаний содержащих фиксированный элемент), можно выбрть f(n, r-1) способом.
Если сочетание не содержит, то таких r-сочетаний f(n-1,r).
Т.к. эти случаи взаимно исключают друг друга, то:
f(n,r)= f(n, r-1)+ f(n-1,r)
Шаг 4: Необходимо проверить получившуюся рекуррентную формулу применительно к известному результату.
f(n,0)=1=f(n,1)-f(n-1,1)=n-(n-1)
Шаг 5: Различные построения.
Один из вариантов: последовательно вычислять f(n,2), f(n,3) и т.д. и смотреть есть ли закономерность.
f(n,2)=n(n+1)/2
f(n,3)=n(n+1) (n+2)/6
В общем виде:
f(n,r)=n(n+1)(n+2)….(n+r-1)/r!
Шаг 6: Рекуррентный спуск
Проверка с помощью формулы начальных условий:
f(n,1)=n
f(1,r)=1
Теорема о числе способов выбораk-элементов, среди которых нет двух соседних, изnэлементов, расположенных в круг. Доказать с помощью получения рекуррентной формулы.Биективные отображения. ПодстановкиБиективные отображения. Подстановки.Производящая функция. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний без повторений.
Производящая функция. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний с повторениями.
Производящая функция. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для сочетаний с повторениями и при условии, что в каждом сочетании должен присутствовать хотя бы один элемент каждого вида.
Производящая функция. Производящая функция (нумератор) и перечисляющая производящая функция для перестановок с повторениями (неограниченными).
Используя производящую функцию доказать…
Используя производящую функцию доказать…
Числа Стирлинга второго рода. Их комбинаторный смысл. Способы вычисления.Числа Моргана.Числа Каталина.Биномиальные и полиномиальные коэффициенты.