Виды выборок

Комбинаторику интересуют результаты отбора (построения выборок) и упорядочения элементов, выраженные в комбинаторных числах. Если после выбора элемент из множества удаляется (его нельзя еще раз выбрать) – это выборка без повторений. Если после выбора элемент из множества не удаляется и его можно выбрать еще раз – это выборка с повторениями. Если в выборках важен порядок элементов – это перестановки. Если же выборки с разным порядком элементов считаются одинаковыми – это сочетания.

С понятием отбора элементов в комбинаторике связано понятие выборки. Выборки могут быть упорядоченными и неупорядоченными, без повторений элементов и с повторениями.

Обозначим знаком отношение упорядоченности. Тогда запись означает, что a предшествует b, а - a предшествует или совпадает с b.

r-перестановка без повторений из n-множества	r-перестановка c повторениями из n-множества	r-сочетание без повторений из n-множества	r-сочетание с повторениями из n-множества

Теорема 1. Число перестановок без повторений

Число r-перестановок без повторений из элементов n-множества равно

.

# Пусть дано n-множество S и T_i – n_i-подмножества множества S, где i=1,2,…,n. Тогда доказательство есть частный случай применения обобщенного правила произведения, где

n₁=n, n₂=n-1, n₃=n-2, …, n_r=n-r+1 #

Следствие 1. Число перестановок n предметов равно:

.

Следствие 2. .

Следствие 3. При r>n (в перестановках с повторениями r не может быть больше n, так как мы не можем из n-множества забрать более, чем n элементов).

По определению, (ноль предметов можно выбрать из n предметов единственным способом – ничего не выбирать).

3. Выборка. Виды выборок. Примеры. Упорядоченные выборки. Теоремы о числе упорядоченных выборок с повторениями. Доказательства. Следствия.

Теорема 2. Число перестановок с повторениями

Число r-перестановок с повторениями из n-множества равно .

# Следует из обобщённого правила произведения, где n₁=n, n₂=n, n₃=n, …, n_r=n. (Выбираем из исходного множества какой-либо элемент, ставим его на очередное место в перестановке, но из исходного множества не удаляем и его можно будет выбрать ещё раз) #

В перестановках с повторениями r может быть больше n, так как при выборе элемента мы не удаляем его из множества и можем выбрать еще раз.

4. Выборка. Виды выборок. Примеры. Неупорядоченные выборки. Теоремы о числе неупорядоченных выборок без повторений. Доказательства. Следствия.

Теорема 3. Число сочетаний без повторений

Число r-сочетаний без повторений из n-множества равно

.

# Число r-перестановок без повторений из n-множества равно , однако порядок элементов в r‑выборке здесь нас не интересует. Число возможных перестановок элементов в r-выборке равно . Следовательно, число сочетаний без повторений в r! раз меньше числа перестановок без повторений. #

Следствие 1.

Свойство симметричности для числа сочетаний без повторений: .

# #

Следствие 2. , т.к. (Ноль предметов выбрать из n предметов можно единственным способом – ничего не выбирать. Выбрать n предметов из n без учета порядка можно единственным способом – выбрать все n предметов.)

Следствие 3. При r>n (в сочетаниях с повторениями r не может быть больше n, так как мы не можем из n-множества забрать более, чем n элементов).

Числа являются коэффициентами бинома Ньютона (a+b)ⁿ:

Например, (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

.

Поэтому числа сочетаний без повторений еще называют биномиальными коэффициентами.

Ещё одно обозначение этих чисел: .

5. Выборка. Виды выборок. Примеры. Неупорядоченные выборки. с повторениями. Доказательство с помощью метода отображений. Следствия. Метод Эйлера.