Связь интеграла по замкнутой поверхности с тройным интегралом по телу, ограниченному этой поверхностью. Формула Гаусса-Остроградского.

Пусть S – двусторонняя замкнутая поверхность, ограничивающая тело V. Предположим, что функции имеют непрерывные частные производные в V и непрерывны на S. В этом случае справедлива формула Гаусса-Остроградского:

,

где поверхностный интеграл взят по внешней стороне поверхности S.

Элементы теории поля

Полем называют скалярную или векторную функцию, заданную в каждой точке некоторой части пространства и являющейся физической характеристикой этой части пространства. В зависимости от вида заданной функции различают скалярное или векторное поле.

Примеры скалярных полей: поле температур, поле электрического потенциала.

Примеры векторных полей: поле скоростей, силовое поле.

Характеристики скалярного поля.

Пусть задано скалярное поле функции , .

Поверхностью уровня данного скалярного поля называется поверхность, задаваемая уравнением . Примером является поле температур в части пространства, обеспеченное точечным излучением тепла, и сферические поверхности с центром в точке источника излучения.

Скалярное поле может задаваться не только в пространстве, но и в области на плоскости. Примером плоского скалярного поля может служить поле значений высоты над уровнем моря, заданное на карте местности.

Линией уровня плоского скалярного поля называется кривая, находящаяся в области задания скалярной функции и задаваемая уравнением . Примером линий уровня служат изолинии на картах.

Градиентом скалярного поля , , называется вектор-функция, заданная на , и равная .

С помощью градиента определяют производную функции по направлению. Если – единичный вектор направления, то .

Как известно, наибольшее изменение в фиксированной точке функция претерпевает в направлении градиента в этой точке.

По заданной функции легко построить градиент. Обратно, если известен градиент функции, то есть, все ее частные производные, то саму функцию легко восстановить с точностью до постоянного слагаемого по формуле .

Характеристики векторного поля.

Рассмотрим поле вектора , .

Векторной линией данного векторного поля называется линия, касательная к которой в любой точке параллельна вектору поля, определенному в этой точке. Примеры: в случае поля скоростей векторные линии называются линиями тока, в случае электростатического поля – силовыми линиями.

Выведем систему уравнений, связывающих дифференциалы векторных линий. Согласно определению вектор параллелен вектору . Следовательно, справедливы соотношения

, которые называются дифференциальными уравнениями векторных линий в пространстве.

Дивергенцией данного векторного поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами является скалярная величина

.

Термин дивергенция (или расхождение) поля в точке связан с наличием дополнительных источников или стоков в этой точке. Для того, чтобы не зависеть от выбранной координатной системы при определении дивергенции, в дополнение к аналитическому дадим механическое определение дивергенции. Пусть точка . Возьмем шар с центром радиуса , лежащий в . Поверхность этого шара обозначим .

Сосчитаем поток вектора поля через поверхность в направлении внешней нормали:

.

Согласно формуле Гаусса-Остроградского . В силу непрерывности дивергенции возможно применение к последнему интегралу теоремы о среднем: , где точка . Таким образом, . Пусть теперь . Тогда вследствие непрерывности дивергенции . Поэтому мы получаем следующее определение дивергенции в точке :

,

где – поток вектора поля через сферу радиуса с центром в точке .

Циркуляцией вектора , , вдоль некоторой замкнутой ориентированной кривой C , находящейся внутри множества , назовем следующий криволинейный интеграл второго рода:

.

Ротором вектора поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами назовем следующую векторную величину:

.

Здесь «умножение» элементов второй строки на элементы третьей строки означает, что от функции из третьей строки берется соответствующая производная.

Ротор иногда называют вихрем, он характеризует вращение поля в данной точке. Дадим определение ротора, не связанное с выбранной в координатной системой. Поскольку ротор – векторная величина, а вектор задается своими проекциями на определенные направления, определим проекцию ротора в точке на заданное направление независимо от координат вектора поля. Рассмотрим плоскость с нормалью , содержащую точку . Пусть – лежащая в плоскости окружность радиуса с центром в точке , ориентированная таким образом, что с конца вектора видно, что она обходится в положительном направлении. Найдем циркуляцию вектора поля вдоль окружности :

. В соответствие с формулой Стокса , где – круг радиуса с центром в точке , лежащий внутри окружности . Поверхностный интеграл в данном случае представляет собой двойной интеграл по плоской области . Воспользуемся теперь непрерывностью компонент ротора и теоремой о среднем для двойного интеграла. Получим , где точка . Следовательно, . Пусть теперь . Тогда вследствие непрерывности компонент ротора имеем . Следовательно, мы получили проекцию ротора в точке на заданное направление :

,

где – циркуляция вектора поля по окружности радиуса с центром в точке , лежащей в плоскости с нормалью и ориентированной так, что с конца вектора видно, что она обходится против часовой стрелки. Поскольку вектор задается проекциями на выбранные направления, ротор может быть определен таким образом.