Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

Пусть , – функция двух переменных. Графическим изображением этой функции является поверхность над областью . Рассмотрим точку , в которой данная функция имеет конечные частные производные и .

Пересечением плоскости с заданной поверхностью является кривая. Аппликата этой кривой определяется по формуле . Частная производная является тангенсом угла наклона касательной к полученной кривой , лежащей в плоскости , с положительным направлением оси OY в точке . Направляющий вектор этой касательной имеет координаты .

Пересечением плоскости с заданной поверхностью является кривая. Аппликата этой кривой определяется по формуле . Частная производная является тангенсом угла наклона касательной к полученной кривой , лежащей в плоскости , с положительным направлением оси OX в точке . Направляющий вектор этой касательной имеет координаты .

Касательная плоскость к поверхности, заданной в явном виде.

Рассмотрим поверхность , заданную над плоской областью . Касательной плоскостью к поверхности в точке с координатами называется плоскость, проходящая через точку и характеризующейся тем свойством, что в этой плоскости лежат касательные ко всем кривым, лежащим на данной поверхности и проходящим через точку . В частности, в касательной плоскости лежат касательные к кривым, полученным в пересечении поверхности с плоскостями и , рассмотренные в предыдущем параграфе.

Направляющие векторы этих касательных – векторы и . Нормальный вектор к касательной плоскости перпендикулярен каждому из этих направляющих векторов, следовательно, за нормальный вектор можно взять векторное произведение . Таким образом, . Записывая уравнение плоскости с данным нормальным вектором, проходящей через данную точку, получим: уравнение плоскости, касательной к поверхности в точке имеет вид

.

Дифференцируемость вектор-функции многих переменных.

Вектор-функцией , размерности , заданной на множестве из пространства , назовем закон, по которому каждой точке ставится в соответствие точка из -мерного пространства ( ). Каждая из функций, являющихся координатами вектор-функции, называется координатной функцией. Примером вектор-функции размерности 2 двух переменных служит , где . Нетрудно видеть, что данная вектор-функция задает соответствие между полярными и декартовыми координатами.

Приращением -мерной вектор-функции в точке является -мерный вектор .

Признаком дифференцируемости вектор-функции в точке является то, что приращение функции, соответствующее бесконечно малому приращению аргумента является результатом линейного преобразования этого бесконечно малого приращения. Линейное отображение пространства в пространство задается матрицей размера . Поэтому условием дифференцируемости -мерной вектор-функции переменных является существование такой матрицы размером , что для любого -мерного вектора приращений аргумента справедливо

, где вектор удовлетворяет условию . Матрица называется производной матрицей и состоит из значений всех частных производных всех координатных функций, входящих в вектор-функцию, в данной точке: .

Производная матрица суперпозиции вектор-функций.

Пусть – -мерная вектор-функция переменных. То есть, . Пусть – -мерная вектор-функция переменных. То есть, . Очевидно, что если подставить вместо переменной в выражение , мы получим новую функцию, называемую суперпозицией двух вектор-функций: которая является -мерной вектор-функцией переменных.

Предположим, что вектор-функция дифференцируема в точке , и соответствующей производной матрицей является матрица . Предположим, что вектор-функция дифференцируема в точке , и соответствующей производной матрицей является матрица . Тогда вектор-функция дифференцируема в точке , и производной матрицей суперпозиции является матрица .