- •Функции многих переменных
- •2. Найти . Переходя к сферическим координатам в окрестности точки , положим
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
- •Касательная плоскость к поверхности, заданной в явном виде.
- •Якобиан.
- •2. Сосчитаем якобиан перехода от сферических координат к декартовым координатам. Напомним формулы:
- •Кратные интегралы
- •Замена переменных в двойном интеграле.
- •Вычисление тройного интеграла.
- •Криволинейные интегралы
- •Поверхностные интегралы
- •Поверхностный интеграл первого рода.
- •Связь интеграла по замкнутой поверхности с тройным интегралом по телу, ограниченному этой поверхностью. Формула Гаусса-Остроградского.
- •Элементы теории поля
- •Характеристики скалярного поля.
- •Характеристики векторного поля.
- •Оператор Гамильтона (набла-оператор).
- •Разложение произвольного векторного поля.
Функции многих переменных
С функциями двух переменных мы встречались в разделе «Аналитическая геометрия в пространстве», когда, например, знакомились с эллиптическим параболоидом, имеющим уравнение , или с гиперболическим параболоидом, имеющим уравнение . Правые части приведенных выражений являются функциями переменных и . Если график функции одной переменной представляет собой плоскую кривую, характеризующую зависимость функции от переменной, то в случае двух переменных такую характеристику зависимости функции ( ) от переменных ( и ) выражает поверхность.
Для графического изображения зависимости функции трех и более переменных понадобилось бы пространство размерности, большей, чем 3. Поэтому такие графические изображения невозможны.
Многомерные пространства.
Мы будем рассматривать -мерные пространства , элементами которых являются точки , каждая из которых задается координатами . В случае малой размерности пространства, чтобы не вводить верхние индексы, мы будем использовать традиционные координаты: .
Расстоянием между точками и -мерного пространства является величина .
Функцией переменных , заданной на множестве из пространства , назовем закон, по которому каждой точке ставится в соответствие вещественное число . Примером функции двух переменных, заданной на всей плоскости , является уже рассмотренная функция , графическая зависимость которой изображается с помощью эллиптического параболоида.
Предел функции многих переменных. Понятие предела функции в точке переносится с функций одной переменной на функции многих переменных следующим образом. , если для любого существует такое значение , что для любых точек , таких что , выполняется неравенство .
В случае функций двух переменных для вычисления предела в точке удобно переходить к полярным координатам в окрестности этой точки, а в случае функции трех переменных – к сферическим координатам.
П р и м е р ы. 1. Найти . Переходя к полярным координатам в окрестности точки , запишем . Очевидно, что точка с координатами стремится к точке с координатами тогда и только тогда, когда . Следовательно, искомый предел равен . Последний предел – это предел функции одной переменной , непрерывной по при для любого значения . Поэтому мы получаем ответ: .
2. Найти . Переходя к сферическим координатам в окрестности точки , положим
. Точка с координатами стремится к точке тогда и только тогда, когда . Следовательно, искомый предел после перехода к сферическим координатам и сокращения числителя и знаменателя на величину равен . Очевидно, что данный предел не существует, так как полученное после сокращения выражение не зависит от переменной , а зависит только от значений и . Ответ: предел не существует.
Непрерывность функции многих переменных в точке. Как и в случае функций одной переменной, функция многих переменных называется непрерывной в точке , если точка входит в область определения функции и .
Из определения предела функции многих переменных следует, что в случае, когда функция непрерывна в точке , для любого существует такое значение , что для любых точек , таких что , выполняется неравенство . Таким образом, малым приращениям аргумента (в смысле расстояния в пространстве ) у функции, непрерывной в точке, соответствуют малые приращения функции.
Как и в случае функций одной переменной, арифметические действия над непрерывными функциями не выводят из класса непрерывных функций, если нет деления на 0.
Дифференцируемость функции многих переменных.
Требование дифференцируемости функции многих переменных в точке является более сильным, чем требование непрерывности функции в точке, так как не только обеспечивается малость приращения функции при малом приращении аргумента. Условие дифференцируемости состоит в том, что приращение функции, соответствующее бесконечно малому приращению аргумента, является результатом линейного преобразования этого бесконечно малого приращения аргумента.
Вспомним, что приращение аргумента функции многих переменных является -мерным вектором, а линейное отображение -мерного вектора в пространство размерности 1 задается матрицей-строкой размера . Поэтому условие дифференцируемости функции многих переменных в точке формулируется следующим образом: существует матрица-строка такая, что для любого вектора приращений аргумента имеет место представление ,
где величина настолько мала, что .
При этом матрица-строка называется производной матрицей, а величина называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с расстоянием .
Частные производные.
Предположим, что функция дифференцируема в точке . Как выразить элементы производной матрицы-строки через заданную функцию? Выберем вектор приращений так, что приращения происходят только по -му аргументу . Вектор приращений аргумента в этом случае имеет вид , следовательно, . Приращение функции примет вид , где . Последние соотношения являются условием дифференцируемости функции одной переменной в точке . При этом
.
Таким образом, -й элемент производной матрицы-строки является производной по -й переменной заданной функции в точке при фиксированных остальных переменных . Такая производная называется частной производной функции многих переменных по переменной в точке и обозначается . Итак, производная матрица-строка, участвующая в определении условия дифференцируемости функции многих переменных в точке , состоит из частных производных по соответствующим переменным в точке :
.
Главная часть приращения функции многих переменных в точке , принимающая теперь вид , называется дифференциалом функции в точке и обозначается . Таким образом, связь приращения функции в точке и дифференциала в той же точке имеет вид , где – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием .