Устные экзаменационные вопросы
по теме «ФКП»
Опр. мнимой единицы, комплексного числа (КЧ). Свойства сопряженных КЧ.
Правила сложения, умножения, деления КЧ в алгебраической форме.
Геометрическая интерпретация КЧ. Опр. модуля и аргумента.
Правила умножения, деления, извлечения корня для КЧ в тригонометрической форме.
Показательная форма КЧ. Формулы Эйлера и Муавра.
Изобразить графически корни
,
.Опр. ряда с КЧ, его сходимости и абсолютной сходимости.
Опр. комплексной переменной (КП). Геометрический смысл КП, зависящей от параметра. Что такое Жорданова кривая ?
Опр.
-окрестностью
точки, области комплексной плоскости,
границы области.В чем различие односвязной и многосвязной области ?
Опр. ФКП. Смысл её символической записи.
Различие между однозначными и многозначными функциями.
Геометрический смысл ФКП.
Алгоритм отображения кривой с помощью ФКП.
Как определяются функции ez , sin z , cos z , sh z , ch z ? Формула Эйлера, её доказательство. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями.
Модуль и аргумент функции ez.
Реальная и мнимая часть функции sin z. Почему она изображается волнистой поверхностью?
Чему равен логарифм КЧ ?
Опр. производной ФКП, аналитической функции. Записать условия Коши – Римана.
Общий признак аналитичности ФКП.
Общие правила дифференцирования ФКП.
Как получаются уравнения Лапласа для ФКП.Общее свойство гармонических функций
Геометрический смысл производной ФКП. Особенности конформного отображения.
Опр. криволинейного интеграла ФКП. Вид его действительной и мнимой части.
Общие свойства криволинейных интегралов.
Формула для вычисления криволинейного интеграла вдоль кривой y = y(x).
Теорема Коши. Три формулировки. Идея доказательства.
Опр. неопределенного интеграла ФКП. Его аналитический вид.
Основная теорема интегрального исчисления.
Формула Коши. Её смысл. Вид n – ой производной ФКП.
Области сходимости степенных функций КП с положительными и отрицательными степенями.
При каком условии ФКП разлагается только в ряд Тейлора. Формула разложения.
Опр. ряда Лорана. Область сходимости. Главная и правильная часть. Опр. полюса.
Теорема о вычетах. Идея доказательства.
Формулы для вычисления вычетов полюса первого порядка.
Формула для вычисления вычетов полюса n - ого порядка.
Правила вычисления интегралов функции действительной переменной с помощью вычетов. Условие Жордана.