При перемножении и делении двух кч в тригонометрической форме

z₁ = r₁ ( cos ₁ + i sin ₁ ) , z₂ = r₂ ( cos ₂ + i sin ₂ )

Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают

z₁ z₂ = r₁ r₂ ( cos (₁ + ₂ ) + i sin (₁ + ₂ ) )

z₁ / z₂ = r₁/ r₂ ( cos (₁ - ₂ ) + i sin (₁ - ₂ ) )

z ⁿ = [r ( cos + i sin)]ⁿ = r ⁿ ( cos n + i sin n)

= [ cos (+ 2k)/ n + i sin (+ 2k)/ n ) ] ,где k = 0,1,2, . . ., n – 1 .

Умножение КЧ теперь сводится к умножению их модулей и сложению аргументов, а деление КЧ к делению модулей и вычитанию аргументов. Появление n решений при извлечении корня связано с тем, что все значения Arg z = (+ 2 k ) уменьшаются в n раз и самые первые n значений аргумента становятся меньше 360⁰ , т.е. становятся главными значениями аргумента - arg z . Они различны, но при возведении корней в степень n получаем одинаковый результат.

Показательная форма КЧ.

Существует формула Эйлера exp (i ) = cos + i sin , которая приводит к показательной форме КЧ

z = a + i b = r (cos + i sin) = r exp (i)

( I ) ( II ) ( III )

В алгебраической форме ( I ) КЧ удобно складывать и вычитать, а в тригонометрической форме ( II ) и в показательной ( Ш ) умножать, делить.

r₁ exp (i ₁) r₂ exp (i ₂) = r₁ r₂ exp i (₁ + ₂

r₁ exp (i ₁) / r₂ exp (i ₂) = r_1/ r₂ exp i (₁ - ₂

( r exp i )ⁿ = rⁿ exp i n

( r exp i )^1/n = r^1/n exp i (+2 k)/ n , k = 0,1,2,3, . . . , n - 1 .

Если z = a > 0 , то z = a(cos 0 + i sin 0) , = 0 и формула a^1/n = r^1/n exp i (2 k )/ n определяет n корней действительного числа. Здесь модуль r^1/n любой из корней числа.

Например, = (cos 0 + i sin 0)^1/4 = cos 2k/ 4 + i sin 2k/ 4 ,

где k = 0,1,2, 3. Получаем корни z₀ = 1, z₁ = i , z₂ = - 1 , z₃ = -i .

Проверка ( 1 )⁴ = ( i )⁴ = ( -1 )⁴ = ( -i )⁴ = 1 .

Если z = - a < 0, то z = a(cos + i sin ) , =и

(-a)^1/n = r^1/n exp i (+2 k)/ n ,где k = 0,1,2, . ., n – 1

Пр. Вычислить ( - 81 )^1/.4 . Решение (- 81 )^{1/ 4} = ( - 1 81 )^1/4 = ( cos + i sin )^{1/ 4}

= 3 ( cos (+ 2 k)/ 4 + i sin (+ 2 k)/ 4 ) , k = 0, 1, 2, 3 .

z₀ = 3( cos / 4 + i sin/4 ) = 3/2( 1 + i )

z₁ = 3 ( cos (/4 +/2 ) + i sin(/4 +/2)) = 3/2( 1 - i )

z₂ = 3 ( cos (/4 +) + i sin(/4 +) ) = 3/2( -1 - i )

z₃ = 3 ( cos (/4 + 3/2) + i sin(/4 + 3/2) ) = 3/2( 1 - i )

Решения изображают 4 вектора с r = 3/2 и ₀= /4, ₁ =3/4, ₂ =5/4 ₃ =7/4

Таблица 1 . 0⁰ 30⁰ 45⁰ 60⁰ 90⁰

sin 0 1/2 /2/2 1

cos 1 /2/2 ½ 0

Таблица 2

90⁰- 90⁰+ 180⁰- 180⁰+ 270⁰ - 270⁰ + 360⁰ - .

sin sincoscossin- sin- cos- cos- sin

cos cossin- sin- cos- cos- sinsincos

Пр. Даны z₁ = 12 ( cos 225⁰ + i sin 225⁰) , z₂ = 3/2 ( cos 75⁰ + i sin 75⁰). Найти z₁ z₂ , z₁ /z₂

z₁ z₂ = 18 ( cos (225⁰+ 75⁰) + i sin (225⁰ + 75⁰)) = 18 (cos(360⁰ – 60⁰) + i sin(360⁰ – 60⁰)) =

= 18 ( cos 60⁰ - i sin 60⁰ ) = 18 ( ½ - i /2 ) = 9 - 9 i

z₁/ z₂ = 8 (cos (225⁰– 75⁰) + i sin(225⁰ – 75⁰)) = 18 (cos (180⁰ – 30⁰) + i sin (180⁰– 30⁰)) =

= 8 (- cos 30⁰ + i sin 30⁰ ) = 8 ( - /2 + i ½ ) = - 4+ 4 i

Ряды с КЧ.

Рассмотрим ряд (a) с общим членом z_n = x_n + i y_n . Он разделяется на два ряда с действительными числами и. Из сходимости этих рядов следует сходимость исходного ряда. Составим ряд(b) из модулей |z_n| = . Т.к. |x_n| < r_n , |y_n| < r_n , то из сходимости ряда (b) по признаку сравнения следует сходи-мость рядов и, что обеспечиваетабсолютную сходимость ряда (a). Т.о., ряд с КЧ абсолютно сходится, если сходится ряд из модулей этих КЧ.

Рассмотрим степенной ряд (с), где a_n , z - КЧ. Составим ряд из модулей , гдеA_n = |a_n| , r = |z|. По теореме Абеля такой ряд сходится в интервале

-R < r < R . Следовательно, степной ряд (с) сходится для z из круга радиуса R : |z| < R.

Области и линии на комплексной плоскости.

От КЧ z = a + ib перейдем к комплексной переменной величине (КП) z = x + iy , где x, y могут изменяться в определенных пределах. Если эти изменения зависят от одного параметра : x = x(t), y = y(t), t₁ < t < t₂ , то КП z = z(t) определяет непрерывную кривую на комплексной плоскости.

Пр.

От системы параметрических уравнений эллипса x = a cos t , y = b sin t , 0 < t < 2

переходим к комплексному представлению кривой z = a cos t + ib sin t. При a = b = r получаем представление окружности z = r e^it или |z| = r . Если центр окружности смещен в точку z₁ = , то z = z₁ + r e^it .

Опр. -окрестностью точки а наз.множество всех точек z , для которых

|z – a| <,>0 .Областью G комплексной плоскости наз. множество точек плоскости каждая из которых имеет свою -окрестность и может быть соединена с другими точками непрерывной кривой. Границей области G наз. множество точек, которые не принадлежат G , но в ближайшей окрестности имеют точки из G.

Область комплексной плоскости, в пределах которой изменяется КП, наз. односвязной, если ее ограничивает непрерывная, замкнутая и не самопересекающаяся линия (кривая Жордана). Если область ограничена несколькими замкнутыми линиями, то она наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть отдельная точка или линия.

Круг |z – z| < R Кольцо r < |z – z₀| < R Сектор < arg (z – z₀) <

Определение функции комплексного переменного.

Опр. Если каждому значению переменной z = x + iy из множества D по правилу f сопоставляется одно или несколько значений w = u + i v из множества W , то f наз. комплексной функцией комплексного переменного (ФКП). D – область определения, W – область значений функции w = f(z).

Функция наз. однозначной, если каждому значению z ставится в соответствие одно значение w и многозначной в ином случае.

Еслиw = u + i v есть функция от z = x + iy , то u и v являются действительными функциями от х, у, и наоборот, всякое выражение w =u(x,y)+i v(x,y) есть ФКП от z =x + iy. ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) имеет условную запись w = f(z) , которая не означает, что функция зависит от х и у только в комбинации x + i y. Пр. Выражение x + 2i y является функцией переменной z = x + i y.

Пр. Дана функция w = z² + z .

Найти её значение при z = 1 + i .

Решение. w = (1 + i)² + (1 + i) = 1 + 3i .

f

(1 + i) (1 + 3i)

Функция наз. ограниченной, если ее модуль |w| =не превосходит некоторого конечного числа. Предел функции lim f(z) = a при z z₀ складывается из пределов функций u(x,y), v(x,y) при (x,y) (x₀,y₀). Функция f(z) непрерывна в точке z , если функции u(x,y), v(x,y) непрерывны в этой точке.

Принципиально новый момент – геометрический смысл ФКП. Т.к. функция f(z) сопоставляет каждой точке z одной плоскости точку w другой плоскости, то её геометрический смысл - отображать плоскость z в плоскость w .При этом линии и фигуры, описанные изменяющейся z , переходят в линии и фигуры совершенно другой конфигурации.

Имеем некоторую кривую F(x,y) = 0 и ФКП w = u(x,y) + i v(x,y). Надо найти отображение этой кривой на плоскость uOv. Переход к новой системе координат определяют уравнения u = u(x,y), v = v(x,y) . Совершим обратное преобразование

x = x(u,v), y = y(u,v) и перейдем в уравнении кривой к новым переменным

F(x(u,v), y(u,v)) = 0 . Это уравнение определяет отображение исходной кривой.

Пр. В какую кривую отображается окружность |z| = с помощью функции w = z²?

Решение. Имеем окружность x² + y² = 2 и w = (x + i y)² = ( x² – y²) + 2xy i . Получаем систему уравнений перехода к новым координатам u = x² – y² , v = 2xy. Оба уравнения возведем в квадрат и сложим u² + v² = (x² + y²)² x² + y² = . Заменим переменные в уравнении окружности и получим u² + v² = 4 , т.е. окружность |w| = 2 , причем, при прохождении исходной окружности вторая проходится дважды.

|z| = e^it , (0 < t < 2),

w = z² = 2 e^{i 2t}

Элементарные функции комплексной переменной.

Основные элементарные функции для КП подлежат переопределению. Наиболее просто вводится степенная функция по формуле Муавра

zⁿ = (x + i y)ⁿ = rⁿ( cos n+ i sin n)

т.е. Re zⁿ = rⁿ cos n, Im zⁿ = rⁿ sin n, r =, arg zⁿ = n.

Действительные функции e^x, sin x, cos x, sh x, ch x представим в виде степенных рядов и заменим в них x на z .

e^z = 1 + z + ( 1 )

sin z = z - ( 2 )

cos z = 1 - ( 3 )

sh z = = z + ( 4 )

ch z = = 1 + ( 5 )

Эти ряды абсолютно сходятся на всей комплексной плоскости, т.к. сходятся ряды из |z| . Cравнение рядов дает простые соотношения для функций. Заменим в ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) z на iz . Тогда из ( 1 ) получаем формулу Эйлера (1743 г.)

e^{i z} = 1 + i z - = cos z + i sin z( 6 )

а в ( 2 ) и ( 3 ) все слагаемые примут положительный знак и получим

cos iz = ch z , sin iz = i sh z ( 7 )

Соотношения ( 7 ) после замены z на iz принимают вид

ch iz = cos z , sh iz = i sin z ( 8 )

Для КП справедливы формулы

,

sin(z₁ + z₂) = sin z₁ cos z₂ + cos z₁ sin z₂ ( 9 )

cos(z₁ + z₂) = cos z₁ cos z₂ - sin z₁ sin z₂

Для гиперболических функций имеются соотношения аналогичные ( 9 ) и основное тождество ch²z - sh²z = 1 ( 10 )

Определим свойства функций ( 1 ) - ( 5 ) .

Функция e^z e^z = e^{x + i y} = e^x e^{i y} = e^x ( cos y + i sin y ) ( 11 )

т.е. Re e^z = e^x cos y , Im e^z = e^x sin y , | e^z | = e^x , y – аргумент, его главное значение arg e^z = y + 2k,где целое число k определяется условием - < y + 2k<.

При перемещении вдоль мнимой оси функция e^z периодическая, период 2i ,

Функция sin z Используем формулы ( 9 ), ( 7 ), ( 10 )

sin z = sin(x + i y) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + i cos x sh y ( 12 )

т.е. Re sin z = sin x ch y , Im sin z = cos x sh y , arg sin z = arctg [ ctg x th y ],

|sin z| = [sin²x ch²y + cos²x sh²y ]^1/2 = [sin²x(1+ sh²y) + cos²x sh²y ]^1/2 =

При перемещении вдоль действительной оси функция sin z периодическая, период 2.

Функция cos z Используем формулы ( 9 ), ( 7 ), ( 10 )

cos z = cos(x + i y) = cos x cos iy - sin x sin iy = cos x ch y - i sin x sh y ( 13 )

т.е. Re cos z = cos x ch y , Im cos z = - sin x sh y , arg cos z = arctg [ - tg x th y ],

|cos z| = [cos²x ch²y + sin²x sh²y ]^1/2 =

При перемещении вдоль действительной оси функция cos z периодическая, период 2.

Функция sh z Используем формулы ( 9* ), ( 8 ), ( 10 )

sh z = sh(x + i y) = sh x ch iy + ch x sh iy = sh x cos y + i ch x sin y ( 14 )

т.е. Re sh z = sh x cos y , Im sh z = ch x sin y , arg sh z = arctg [ ctg x th y ],

|sh z| = [sh²x cos²y + ch²x sin²y ]^1/2 =

При перемещении вдоль мнимой оси функция sh z периодическая, период 2i ,

Функция ch z Используем формулы ( 9* ), ( 8 ), ( 10 )

ch z = ch(x + i y) = ch x ch iy + sh x sh iy = ch x cos y + i sh x sin y ( 15 )

т.е. Re ch z = ch x cos y , Im ch z = sh x sin y , arg ch z = arctg [ th x tg y ],

|ch z| = [ch²x cos²y + sh²x sin²y ]^1/2 =

При перемещении вдоль мнимой оси функция ch z периодическая, период 2i ,

Функции tg z, ctg z, sh z, ch z определяют формулы

Функция ln z Натуральный логарифм числа z = r( cos + i sin ) есть КЧ (x + i y), удовлетворяющее равенству

e^{x + i y} = r ( cos + i sin)или e^x ( cos y + i sin y ) = r ( cos + i sin)

Откуда следует e^x = r или x = ln r , y = + 2k , т.е.

Ln [ r ( cos + i sin) ] = ln r + i(+ 2k)( 16 )

Логарифм КЧ равен логарифму его модуля плюс i , умноженное на одно из значений аргумента.

Общая показательная функция a^z является многозначной a^z = e^{z ln a} ( 17 )

Функция arcsin z Прямую функцию z = sin w = умножим на 2i e^{i w} и получим квадратное уравнение e^{2i w} - 2i e^{i w} - 1 = 0 . Его решение e^{i w} = iz + прологарифмируем и получим

w = arcsin z = -i ln(iz + ) ( 18 )

Аналогично вычисляются: arccos z = -i ln(z + ) , arctg z = ( 19 )

Производная ФКП.

Производная однозначной ФКП w = f(z) определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента

lim = при ( 20 )

Если предел существует и не зависит от способа стремления к нулю, то функция

w = f(z) наз. аналитической в окрестности точки z .

Определим условие независимости предела ( 20 ) от способа стремления к нулю. Процессопределяют два процессаи. Их относительная скоростьh может быть различной. Представим отношение =как функцию отh и определим условие обращения этой функции в константу.

Заменим в отношениина дифференциалы и затем перейдем к пределу

du = u`<sub>x</sub> dx + u`_y dy , dv = v`<sub>x</sub>dx + v`_ydy

= =

Независимость производной от h выполняется при B = i A или u`<sub>y</sub> + iv`_y = i(u`<sub>x</sub> + iv`_x)

Отсюда следуют необходимые условия дифференцируемости Коши – Римана

, ( 21 )

Если частные производные от u и v непрерывны в области D и выполняется условие Коши – Римана, то функция w = f(z) дифференцируема в этой области.

Поскольку частные производные связаны между собой, то выражение для полной производной имеет разные формы

= А = ===( 22 )

Пр. Проверим аналитичность функции w = z* по формулам ( 20 ) и ( 21 ). Пусть движение от точки z +z к точке z идет по кривой y = g(x). Тогда при

lim = lim = lim =

т.е. предел отношения приращений функции и аргумента включает тангенс угла наклона касательной к кривой y = g(x) , которая произвольна. Имеем u = x , v = -y . Тогда u’_x = 1, v’_y = - 1 , т.е. условия Коши – Римана ( 20 ) для w = z* не выполняются.

ФКП w = u(x,y) + i v(x,y) , зависящая от двух переменных , всегда является аналитической, если фактически зависит только от их комбинации x + i y , т.е. является функцией одной независимой переменной z . Покажем, что это требование эквивалентно условию Коши – Римана.

Заменим в w(x,y) x на z – iy и продифференцируем по у .

= +i [] =

= -i+i [] =

При выполнении условий Коши – Римана получаем , т.е. функцияw не зависит от у , а только от z . Т.о., замена в функции действительной переменной f(x) аргумента х на КП z приводит к аналитической функции f(z) .

Пр. Функция w = x + 2i y = z + iy не аналитическая, а функция w = x² – y² + 2ixy = z² - аналитическая.

Вычислим производные от нескольких элементарных функций.

1. w = z² . Т.к.u = x² – y², v = 2xy, то= = = 2x + i2y = 2z

Аналогично доказывается общая формула = n z^{n - 1} ( 23 )

2. w = e^z . Т.к. по ( 11 ) e^z = e^x (cos y + i sin y) , то = = e^x cos y + i sin y = e^z

Производная от экспоненты равна самой функции =e^z ( 24 )

3. w = sin z . Т.к. по ( 12 ) sin z = sin x ch y + i cos x sh y , то c учетом ( 13 ) имеем

= = cos x ch y - i sin x sh y = cos z ( 25 )

4. w = ln z . Т.к. по ( 16 ) ln z = ln () + i [ arctg() + 2k], то

= = + i = = ( 26 )

Аналогично вычисляются следующие производные

( cos z )` = - sin z , ( sh z )` = ch z , ( ch z )` = sh z ,

( arcsin z )` = , (arcos z )` =, ( arctg z )` =( 27 )

Таким образом, производные от основных элементарных функций от действительных и комплексных переменных полностью совпадают, также как и все правила дифференцирования.

Продифференцируем первое уравнение из ( 21 ) по х , второе по у и сложим их

, ( 28 )

В результате получаем уравнение Лапласа для u и аналогичным образом для v , т.е. мнимая и действительная части всякой аналитической функции являются функциями гармоническими. Их общее свойство: изменение функции вдоль х и вдоль у идет с одинаковым по модулю ускорением. Но не всякое сочетание двух гармонических функций образует аналитическую функцию. Функции u и v должны быть сопряженными. Зная u можно построить v и наоборот.

Пр. Дана действительная часть u(x,y) = x² – y² – x дифференцируемой функции f(z), где z = x + iy. Найти функцию f(z).

Решение. Вычисляем . Т.к.( 1 условие Коши – Римана), то. Это ДУ интегрируемv(x,y) = 2xy – y + , где - произвольная функция. Это решение дифференцируем пох : =2y + . Т.к.( 2 условие Коши – Римана), то= -2y - . Но из условия задачи следует. Сравнение производных дает= 0 или=const , т.е сопряженная функция равна v(x,y) = 2xy – y + С .

Ответ: f(z) = (x² – y² – x) + i (2xy – y +С) = (x² – y²) +i 2xy + (x + i y) + C = z² + z + C

Конформное отображение.

Дана аналитическая функция w = f(z) , которая сопоставляет точкам области D точки области W. Выберем в D две близко расположенные точки m и m₁ . Им соответствуют точки М и М₁ в W. Отрезки mm₁ и MM₁ соединяют z с z +z и w с w + w . Этим векторам соответствуют КЧ z и w .

Отношение модулей векторов равно . Перейдем к пределуm₁ m

lim = lim =|f `(z)| (z 0)

т.е. модуль производной показывает во сколько раз длина отрезка в окрестности точки z больше длины отображения этого отрезка.

Пусть m₁ приближается к m вдоль линии l . Тогда соответствующее движение М₁ к М пойдет по линии L . Аргумент КЧ z определяет угол между вектором mm₁ и осью Ох , а аргумент w между вектором ММ₁ и осью Ou. Разность этих аргументов определит угол между векторами mm₁ и ММ₁ , причем, разность аргументов равна аргументу частного

arg w - argz = arg, ()

При m₁ m секущие mm₁ и ММ₁ становятся касательными и предел

lim arg= arg f `(z) (z 0)

определит угол между касательной кl в точке z и касательной к L в точке w, т.е. arg f `(z) дает угол поворота прямой в точке z в результате преобразования f(z). Этот угол не зависит от параметров линии. Поэтому, при прохождении через точку z двух линий l и l₁ под углом их отображения L и L₁ будут пересекаться под тем же углом .

Сохранение угла приводит к тому, что бесконечно малый треугольник в окрестности точки z отображается в подобный треугольник в плоскости w, т.е. его стороны изменяют длины в отношении |f `(z)| :1 и поворачиваются на угол arg f `(z) . Это свойство подобия следует из факта существования производной, т.е. аналитичности функции f(z).

Опр. Конформным ( подобным ) отображением наз. отображение с помощью аналитической функции.

Пр. При помощи функции w = z³ отобразить на плоскость uOv линию y = x .

Решение. Имеем w = ( x + iy)³ = x³ + 3x²iy + 3x(iy)² + (iy)³ = (x³ -3xy²) + (3x²y – y³) i , т.е.

u = x³ - 3xy² , v = 3x²y – y³ . Определим значение этих координат для точек линии y = x : u = - 2x³ , v = 2x³, т.е. v = - u . Это биссектриса 2 и 4 квадранта.

Пр. При помощи функции w = 2z +1 отобразить на плоскость uOv окружность x²+y²=1.

Решение. Имеем w = 2(x + iy) + 1 = (2x + 1) + 2yi , т.е. u = (2x + 1) , v = 2y . Находим обратное преобразование координат x = (u – 1)/2 , y = v/2 и делаем замену переменных в уравнении окружности [(u – 1)/2]² + [v/2]² = 1 (u – 1)² + v² = 4 . Отображение есть окружность с радиусом 2 и центром в точке (1;0).

Римановы поверхности

Функция наз. однозначной, если каждому значению z ставится в соответствие одно значение w и многозначной в ином случае.

Функция z = w² однозначная, а обратная функция w = - многозначная, т.к. корнями являются два комплексных сопряженных числа. Однако, многозначную функцию можно представить как однозначную, если определять ее наримановой поверхности. Она состоит из нескольких плоскостей, соединенных между собой вдоль некоторых линий – разрезов.

Пусть w = r e^{i t} определена в верхней полуплоскости. Тогда arg w = t(0,) ,но arg w² = arg (r² e^{2i t} ) (0, 2) , т.е. функция z = w² отобразит верхнюю полуплоскость на всю плоскость. Исключение составят точки оси Ох при x > 0 ( t = 0 ). Эта линия наз. разрезом. Такую плоскость с разрезом обозначим T₁. Можно говорить об обратном переходе – w однозначная функция от z в области T₁ : w = , при условииIm> 0 .

На берегах разреза при t 0 и t имеем z |z| > 0 и w = .На верхнем берегу выберем w = ,на нижнем w = -.

Пусть w = r e^{i t} определена в нижней полуплоскости. Тогда функция z = w² отобразит её на плоскость Т₂ , но знаки на берегах разреза у функции w = поменяются. Таким образом, на линии разреза функцииw = однозначна, но для определения других значений приходится использовать две плоскостиТ₁ , Т₂ , что обеспечивает полную однозначность функции w = . Плоскости Т₁ , Т₂ связываются в одну двулистную область, где верхний берег разреза в Т₁ соединяется с нижним берегом разреза Т₂ и наоборот. Точка z = 0 наз. точкой разветвления первого порядка. Если выйти из точки z₀ и вернуться в неё по замкнутому контуру вокруг z = 0 , то окажемся на соседнем листе и функция поменяет свой знак.

Вобщем случае, если функцияz = g(w) однозначна во всей плоскости w , то это преобразование может перевести w в многолистную плоскость z и обратная функция w = f(z) будет аналитическая на этой плоскости за исключением точек, где g’(w) = 0 . Это точки разветвления обратной функции.

Криволинейный интеграл от ФКП.

По аналогии с определенным интеграломf(x) dx методом интегральной суммы введем интеграл для аналитической ФКП f(z). Интегрировать будем не вдоль оси Ох , а вдоль произвольной кривой L , соединяющей точки z₀ и z комплексной плоскости.

1. Разделим L на n участков точками z₁, z₂, . . . , z_n = z .

2. На каждом отрезке z_{i – 1} z_i длины z_i = z_i – z_{i – 1} выделим точку p_i и составим произведение f(p_i) z_i .

3. Построим интегральную сумму f(p_i) z_i .

4. Переход к пределу при условии |z|0 даст КЧ.

lim f(p_i) z_i = f(z) dz = J( 29 )

Опр. Криволинейным интегралом от ФКП f(z) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы, полученный путем разбиения L на малые участки.

В общем случае КЧ J зависит от f(z), формы кривой L и существует для непрерывных и ограниченных функций и гладких кривых L . Кривая наз. гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Выделим в J Re и Im части. Т.к. f(z) = u(x,y) + i v(x,y) , dz = dx + i dy , то

J = u dx – v dy + iv dx + u dy( 30 )

т.е. J распадается на криволинейные интегралы от действительных переменных и сохраняет их общие свойства

1⁰ f(z) dz = - f(z) dz , 2⁰ f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz ( 31 )

где K – промежуточная точка дуги АВ , и другие свойства.

Криволинейные интегралы вычисляют путем перехода к определенным интегралам. Если L задана в явной форме y = y(x) , a < x < b , то

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = { P(x,y(x)) + y`(x) Q(x,y(x))} dx ( 32 )

Если подынтегральная функция есть полный дифференциал P dx + Q dy = dU(x,y) , при выполнении условия , то dU(x,y) = U(b, y(b)) - U(a, y(a)) , т.е. значение интеграла не зависит от формы кривой.

При параметрическом задании L : z = z(t) , имеем

f(z) dz = f(z(t)) z`(t) dt = Re [f(z(t)) z`(t)]dt + iIm [f(z(t)) z`(t)] dt ( 33 )

Пр.1. Вычислить интеграл f(z) dz , где f(z) = (y +1) – xi, прямая АВ соединяет

точкиz_A = 1 , z_B = -i . Решение. Имеем u = y + 1 , v = - x . Уравнение прямой y = x – 1 и dy = 1. По формулам (2.2 ) и ( 2.4 ) имеем

f(z) dz = (y+1) dx – (-x) dy + i (-x) dx + (y+1) dy =

= [ (x – 1 + 1) – (-x) ] dx + i [ (-x) + (x – 1 + 1) ] dx = - 1

Теорема Коши.

Если f(z) аналитическая функция в односвязной области D , то интеграл f(z) dz зависит только от положения конечных точек А и В кривой L и не зависит от формы кривой, или интеграл по замкнутой кривой всегда равен нулю.

f(z) dz = 0 ( 34 )

Доказательство. От криволинейного интеграла по замкнутому контуру на плоскости всегда можно перейти к двойному интегралу по области, ограниченной этим контуром по формуле Грина P(x,y) dx + Q(x,y) dy =

В нашем случае

u dx – v dy = - ; v dx + u dy =

но частные производные от аналитической функции f(z) удовлетворяют условиям Коши – Римана ,, которые обращают эти интегралы в ноль.

Неопределенный интеграл от ФКП.

Рассмотрим выражение F(z) = f()d,где f() –аналитическая функция в области D , а точки z₀ и z соединяет произвольная гладкая кривая L . Функция F(z) , удовлетворяет равенству

F`(z) = f(z) ( 35 )

Действительно, при h 0

F`(z) = lim = lim= lim=

= f(z) + lim = f(z)

В ближайшей окрестности точки z функция отличается от f(z) на бесконечно малую (h) более высокого порядка, чем h . Т.к. F(z) имеет производную, то она является аналитической и наз. первообразной для f(z). Её значение зависит от выбора точки z₀ и она определяется с точностью до константы.

Опр. Совокупность всех первообразных ФКП f(z) наз. неопределенным интегралом

f(z) dz = F(z) + C ( 36 )

Правила вычисления интегралов комплексных и действительных переменных совпадают.

Основная теорема интегрального исчисления.

Интеграл от функции f(z) , аналитической в D, равен приращению её первообразной функции, при переходе из начальной в конечную точку пути интегрирования

f(z) dz = F(b) - F(a) ( 37 )

Действительно, интеграл f()d=F(z) + C дает первообразную с точностью до константы. Пусть z z₀ и контур замыкается. Тогда по теореме Коши F(z₀) + C = 0 или C = - F(z₀) , т.е. константа равна первообразной в начальной точке.

Вычислим теперь Пр.1 по формуле ( 37 ). f(z) dz = (1 – iz)dz =

=(1 – iz)d(1 – iz) = (1 – iz)² |₁^-i = [ (1 + i²)² – (1 – i)² ] = -1

Пр.2 Вычислить z² dz , если прямая АВ соединяет точки z_А = 1, z_B = i

z² dz = z²dz = 1/3 z³ |₁ⁱ = -1/3 (1 + i )

Формула Коши.

Формула Коши выражает значение аналитической функции в любой точке z внутри области определения через её значения на произвольном контуре, окаймляющем точку.

f(z₀) = ( 38 )

Доказательство. Вокруг выделенной точки z₀ проведем окружность радиусаи соединим её прямойАВ с замкнутым контуром L. Контур L’₊ = AB +_- + BA + L₊ , охватывает кольцевую область, где функция f(z)/(z₀ – z) аналитическая. По теореме Коши ( 34 ) и свойствам ( 31 )

имеем = --+= 0 ,т.е. интеграл по внешнему контуру кольцевой области равен интегралу по внутреннему контуру того же направления

= ( 39 )

Вычислим его. =+= J₁ + J₂

J₁ = f(z₀) == i f(z₀)= 2i f(z₀)

В J₂ приращение функции заменим на модуль его максимального значения |f(z)– f(z₀)| <,тогда J₂ < || = 2.Т.к. радиуспроизволен, то при0 и0, т.е. J₂ = 0. Отсюда следует формула ( 38 ), которая дает явный вид зависимости функции от z₀ . Продифференцируем ( 38 ) по z₀ n раз и получим

f⁽ⁿ⁾(z₀) = ( 40 )

Бесконечные ряды

Бесконечный ряд из комплексных величин u₁(z) + u₂(z) +. . .+ u_n(z) + . . = наз. абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей этих величин . Суммой ряда наз. предел последовательности частичных сумм S_n : S = lim S_n .Областью сходимости степенного ряда является круг радиусаR с центром в точке z₀ : |z – z₀| < R (Теорема Абеля). Радиус сходимости R = 1/ lim при n. Для степенного рядас отрицательными степенями область сходимости это вся плоскость за исключением круга радиусаr с центром в z₀ : |z – z₀| > r . Действительно, замена переменных z’ = (z – z₀)^-1 даст переход к ряду с положительными степенями и радиусом сходимости r . Тогда из условия |z’| < r |z – z₀| < 1/r или

|z – z₀| > r. Если r < R , то общей областью сходимости рядов двух типов будет кольцо r < |z – z₀| < R . Ряды с отрицательными степенями определяют свойства функции вблизи точки разрыва.

Внутри области сходимости D сумма степенного ряда f(z) аналитическая функция. Поэтому возможен и обратный переход от f(z) к бесконечному ряду. Совершим его.

Выделим точку z₀ в пределах области определения аналитической функции f(z) и представим f(z₀) через значения этой функции на некотором контуре по формуле Коши

f(z₀) = ( 38 )

Множитель 1/ (z – z₀) разложим в ряд по формуле геометрической прогрессии

1/ (1 – q) = qⁿ , |q| < 1

и проверим ряд на абсолютную сходимость. Возможны два варианта.

(а) ==;

(b) ==;

Здесь а – фиксированная точка, а z₀ - произвольная точка области D. Ряд (а) абсолютно сходится при |z₀ –a| < |z – a| , a ряд (b) при |z₀ –a| > |z – a|.

Рассмотрим случай области сходимости в виде круга радиусаR с центром в точке а. В качестве контура интегрирования по переменной z в ( 38 ) возьмем окружность L₁ радиуса R₁ < R с центром в точке а и точкой z₀ в ее пределах. Тогда |z₀ –a| <|z – a| и ряд (а) окажется равномерно сходящимся относительно z₀ .

Заменим в ( 38 ) множитель 1/ (z – z₀) на разложение ряда (а) и почленно проинтегрируем с учетом ( 40 )

f(z₀) = = (z₀ – a)ⁿ= (z₀ – a)ⁿ

т.е. значение f(z) в любой точке круга |z – a| < R , где f(z) аналитическая функция, представляется рядом Тейлора

f(z) = f(a) + (z – a) +(z – a)² + (z – a)³ + . . . ( 41 )

В случае, если аналитичность функции нарушается даже в отдельно взятой точке области сходимости, то область сходимости приобретает кольцевой характер.

Рассмотрим случай кольцевой области сходимостиr < |z₀ -a| < R с центром в точке а . Введем две новые окружности L₁(r ) и L₂(R) вблизи границ кольца с точкой z₀ между ними. Тогда формула Коши ( 38 ) включит два интеграла по переменной z

f(z₀) = + ( 42 )

где интегрирование идет в противоположных направлениях.

Для интеграла по L₁ выполняется условие |z₀ –a| > |z – a|, а для интеграла по L₂ обратное условие |z₀ –a| < |z – a|. Поэтому множитель 1/(z – z₀) разложим в ряд (а) в интеграле по L₂ и в ряд (b) в интеграле по L_{1 .} В результате получаем разложение f(z) в кольцевой области в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням (z – a).

f(z) = A_n (z – a)ⁿ ( 43 )

где A_n = =; A_-n =

Разложение по положительным степеням (z – a) наз. правильной частью ряда Лорана (ряд Тейлора), а разложение по отрицательным степеням наз. главной частью ряда Лорана. При наличии n членов в главной части точка а наз. изолированной особой точкой или полюсом n – ого порядка функции f(z). Если n , то точка а наз. существенно особой точкой.

Пр. 1 Для f(z) = точка z = 0 устранимая особая точка

f(z) = ( z - ) = 1 -

Пр.2 Для f(z) = точка z = 0 - полюс 1 – ого порядка

f(z) = ( z - ) = -

Пр. 3 Для f(z) = e^1/z точка z = 0 - существенно особая точка

f(z) = e^1/z =

Если при z a lim (z – a)^k f(z) = c 0 , то z = a есть полюс k – ого порядка для f(z).

Коэффициент А_-1 полюса 1 – ого порядка наз. вычетом.

Пр. Разложить в ряд Тейлора по степеням (z – i) функцию f(z) = z⁵ .

Решение. f(z) = z⁵ , f(i) = I f’’’(z) = 60z² , f’’’(i) = - 60

f’(z) = 5z⁴ , f’(i) = 5 f⁽⁴⁾(z) = 120z , f⁽⁴⁾(i) = 120i

f’’(z) = 20z³, f’’(z) =-20 i f⁽⁵⁾(z) = 120 , f⁽⁵⁾(z) = 120

f⁽⁶⁾(z) = 0

f(z) = i + 5(z – i) - 10i(z – i)² - 10(z – i)³ + 5i(z – i)⁴ + (z – i)⁵

Рядом Тейлора функции f(z) = z⁵ является многочлен 5 степени.

Пр. Разложить в ряд Тейлора по степеням z – (1 - )функцию f(z) = ch(1 – z) .

Решение. f(z) = ch(1 – z) f’(a) = ch() = cos() = 0

f’(z) = - sh(1 – z) f’(a) = - sh() = -i sin() = -i

f’’(z) = ch(1 – z) f’(a) = 0

f’’’(z) = - sh(1 – z) f’(a) = -i

Остаются только нечетные степени разложения с общим множителем -i

f(z) = -i [ (z – 1 + ) + (z – 1 + )³ + (z – 1 + )⁵ + . . . ]

Пр. Исследовать сходимость ряда

. . . + + + + 1 + () + ()² + ()³ + . . .

Решение. Это сумма двух геометрических прогрессий с q₁ = , q₂ = () . Из условий их сходимости следует < 1 , < 1 или z > 1 , z < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .

Пр. Разложить по степеням z в ряд Лорана функцию f(z) =в окрестности z = 0

Решение. Представим функцию в виде f(z) = - z² .Имеем сумму геометрической прогрессии со знаменателем q = z . В круге |z| < 1 она сходится.

f(z) = - z² ( 1 + z² + z³ + z⁴ + . . . ) = - z² - z³ - z⁴ - . . .

Пр. Разложить по степеням z в ряд Лорана функцию f(z) = в кольце 1 < |z| < 3 . Решение. Разложим функцию на простейшие дроби

= +=.Из условий z = 1 A = -1/2 , z = 3 B = ½ . С учетом условия 1 < |z| < 3 запишем f(z) = - - . Это суммы геометрических прогрессий, которые сходятся в кольце

f(z) = - ( )

Для этой функции z = 0 существенно особая точка.

Теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая функция в области, ограниченной контуром L за исключением полюса в точке а . Тогда значение интеграла от f(z) по контуру L равно вычету в точке а .

f(z) dz = 2i A_-1 ( 44 )

A_-1 - коэффициент при в разложении f(z) в ряд Лорана.

Док – во. Если а – полюс порядка n , то f(z) = + . . . ++(z),

где правильная часть ряда Лорана (z) - аналитическая функция. Интеграл от неё по замкнутому контуру равен 0 (теорема Коши).

f(z) dz = A_-n + . . . +A_-1 +0

Вокруг точки а опишем окружность радиусаr и получим кольцевую область, где функции аналитические. Тогда интеграл по внешнему контуруL₊ можно заменить на интеграл по внутреннему контуру ₊ ( 39 ) и вычислить его.

Пусть z – a = r e^it , тогда dz = ir e^it , 0 < t < 2

= i = 2i

= i =e^{i(k – 1)t} dt =[cos(k–1)t + i sin(k-1)t ] dt = 0

т.е.после интегрирования в разложении функции в ряд остается только одно слагаемое 2i A_-1 = 2i res f(а) .

Еси функция f(z) имеет в пределах контура L несколько полюсов a₁ , a₂ , . . . , a_m , то интеграл равен сумме вычетов

f(z) dz = 2i ( 45 )

Контур односвязной области L’ теперь включит m окружностей _i вокруг каждого полюса и m разрезов. В результате интеграл по L₊ будет равен сумме интегралов по _i+ .

Вычисление вычетов.

Пусть f(z) имеет полюс первого порядка. Тогда она представляется в виде частного f(z) =и ряда Лорана f(z) = +(z) . Умножим f(z) на (z – a) и перейдем к пределу z a

lim f(z)(z – a) = lim = A_-1 ( 46 )

т.е. вычет функции с полюсом первого порядка в точке а равен пределу произведения функции на двучлен (z – a) при z a .

При вычислении предела в ( 2.17 ) используем правило Лопиталя

lim = lim = lim = = res f(z)( 47 )

т.е. для определения вычета достаточно значение числителя функции в точке а разделить на значение производной от знаменателя в этой точке

Если f(z) имеет в точке а полюс порядка n, разложение этой функции в ряд Лорана умножим на (z – a)ⁿ

(z – a)ⁿ f(z) = A_-n + A_1-n(z – a) + A_2-n(z – a)² + . . . + A_-1(z – a)^n-1 + (z – a)ⁿ(z) ,

(n – 1) раз продифференцируем и получим (n – 1)! А_-1 + [(z – a)ⁿ(z)]^{(n – 1)} . Переход к пределу za исключит второе слагаемое и определит вычет

res f(z) = lim ( 49 )

Пр. Найти вычеты функции f(z) =

Решение. Полюсами являются точки z = 1 , z = 3

= (z – 1) = = - ½

= (z – 3) = = 3/2

или по формуле ( 2.18 ) : g(z) = z , h(z) = (z – 1)(z – 3) , h’(z) = 2z – 4 , тогда

= = - ½ ; = = 3/2

Пр. Найти вычеты функции f(z) =

Решение. Здесь z = 2 - полюс третьего порядка, тогда

= = = 2 = 1

Вычисление интегралов.

Пусть f(z) аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением n полюсов a_i расположенных над осью Ох. Кроме того lim z² f(z) = C – конечное число при |z|, т.е. на бесконечности функция становится двукратной нулевой точкой. Тогда определенный интегралf(x)dx функции действительной переменной равен

f(x) dx = 2i ( r₁ + r₂ + . . . + r_n ) ( 50 )

где r_i - вычеты функции f(z) в a_i . ( 2.20 ) – часть интеграла по замкнутому контуру. Он состоит из действительной оси и полуокружности радиуса R , интеграл вдоль которой равен нулю в силу дополнительного условия.

Пр. Вычислить J = .

Решение. Функция f(x) = аналитическая в верхней полуплоскости, за исключением полюса 2 порядка в 2i. Проверка дополнительного условия при |z|

lim z²f(z) = lim = lim = { z = r e^it } = lim = 0

т.е. конечное число. Вычисление вычета по ( 2.18 )

= = = =

Ответ. J = 2i = 2i () =

Пр. Вычислить J =, если-окружности:1)|z| = 1, 2) |z| = 3, 3) |z| = 5

Решение. Найдем вычеты относительно полюсов z = 0 , z = - 2 , z = - 4

= z f(z) = = 1/8

= (z + 2) f(z) = = - ¼

= (z + 4) f(z) = = 1/8

1) Внутри окружности |z| = 1 находится один полюс z = 0 J₁ = 2i () = i / 4

2) Внутри окружности |z| = 3 находятся полюсы z = 0, z =-2 J₂ = 2i () = -i / 4

3) Внутри окружности |z| = 5находятся полюсы z = 0, z =-2, z =-4 J₃ = 2i()= 0