Казанский государственный энергетический университет Кафедра «Высшей математики»
Опорные конспекты лекций.
Тема : Функции комплексной переменной.
Комплексные числа.
Решение алгебраических уравнений – важнейшая задача математики. Стремление сделать разрешимыми уравнения различных типов приводит к необходимости расширения понятия числа.
Вид уравнения Тип числа ____ Множество:
x + a = b отрицательные и 0
a x = b дробные
====== > Q - рациональных чисел
x 2 = 2 иррациональные
=======> R - действительных чисел
x2 + 1 = 0 комплексные
========= > C - комплексных чисел
Корень уравнения х2 = - 1 наз. мнимой единицей и обозначается символом i (Эйлер). Символ i определяется условием i 2 = - 1 .
Опр.
Комплексным
числом наз.
выражение вида
а + b
i
, где а,
b
R
, i
- мнимая
единица.
Обозначения: a + b i = z , a = Re z - действительная часть КЧ, b i = Im z - мнимая часть КЧ, b - коэффициент мнимой части.
При а = 0 имеем чисто мнимое число, при b = 0 - действительное число. КЧ z = a + b i и z* = a – b i наз. сопряженными , а форма записи КЧ алгебраической.
Пр. Решим уравнение x2 – 2x + 5 = 0 .
x1,2
= ( 2
)/2
= 1
= 1
= 1
= 1
2
i
Таким образом, корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются сопряженные КЧ.
Равенство КЧ. a + b i = c + d i означает равенство коэффициентов : a = c, b = d
Сложение КЧ. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i - означает раздельное сложение вещественных и мнимых частей. (Это два определения.)
Пр. z1 = 2 – 3i , z2 = 1 + 4i , z1 + z2 = 3 + i , z + z* = 2 a
Умножение КЧ. (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c)
Это обычное перемножение двучленов с учетом i 2 = - 1 .
Пр. z1 z2 = 14 + 5 i , z z* = (a + b i) (a - b i) = a2 + b2
т.е. произведение сопряженных КЧ есть число действительное.
Деление КЧ. Частным от деления двух КЧ z1 / z2 является третье КЧ z3 , произведение которого на делитель дает делимое z3 z2 = z1
Для того чтобы разделить два КЧ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на КЧ сопряженное знаменателю
a + b i = (a + b i) (c – d i) = (a c + b d) + (b c – a d) i
c + d i (c + d i) (c – d i) c2 + d2
Пр. z1 / z2 = - 10/17 - 11/17 i
Степени i. i1 = i i4 n + 1 = i
i2 = - 1 i4 n + 2 = - 1 Пр. i24 = 1, i59 = i 56+ 3 = - i
i3 = - i i4 n + 3 = - i
i4 = 1 i4 n = 1
Геометрическая интерпретация КЧ.
Действительному
числу соответствует точка на числовой
оси, а КЧ a
+ b
i
соответствует
точка M(a;b)
на
координатной плоскости или её радиус-вектор
Т
акая
плоскость наз.комплексной
плоскостью, ось
Ох – действительной
осью, ось Оу
- мнимой осью. Модулем КЧ
наз. модуль радиус-вектора
.
|
z
| = r
=
=
Аргументом
КЧ z
= a
+ i
b
(Arg
z)
наз. угол
между Ох
и
.
Он определяется неоднозначно, с точностью
до 2
.
Главное
значение аргумента:
arg
z
=
,
-
<
<
.
Arg
z
= arg
z
+ 2 k
, k
= 1,2,3, . . .
Алгоритм вычисления аргумента:
1)
найти острый угол
= arctg
| b/
a
| ; 2) определить
квадрант , в котором находится ОМ
; 3) перейти
от
к
по правилу : в 1 четверти
=
; во 2
четверти
=
-
; в 3 четверти
=
+
; в 4 четверти
= 2
-
Пр.
Найти аргумент
z
= 1 – i
.
=
arctg
|-
/1|
= arctg
=
/
3 . Вектор
OM
лежит в 4
четверти , следовательно, Arg
z
= ( 2
-
) + 2 k
= 5
/3
+ 2 k
,
k
N
Сложение двух КЧ геометрически означает сложение двух радиус-векторов.
Тригонометрическая форма КЧ.
Коэффициенты КЧ (a + b i ) можно выразить через его модуль и аргумент :
{
cos
= a/ r , sin
= b/ r }
{ a = r cos
, b = r sin
}
и записать КЧ в форме
z
= r
[ cos
(
+
2 k
)
+ sin
(
+
2 k
)
]
которая наз. тригонометрической формой КЧ
Пр.
Записать число z
= -
- i
в
тригонометрической форме.
Находим
модуль r
= [(-
)2
+ (-1)2 ]1/
2 = 2.
Определяем
= arctg
1/
=
/6.
Вектор ОМ
в 3 четверти
arg
z
=
+
/
6 = 7
/
6, z
= -
- i
= 2( cos7
/
6 + i
sin
7
/
6 ).
Пр. Записать число z = 2 (cos 3300 + i sin 3300 ) в алгебраической форме.
cos
3300
= cos (3600
– 300)
= cos 300
=
/2,
sin 3300
= sin (3600
– 300)
= - sin 300
= -1/2 ,
тогда
a = 2 (
/
2) =
, b = 2 (-1/2) = -1и
z =
- i .