2 Расчет усилий, напряжений и площади контактирования

Для случая работы УЭ как балки с обоими защемленными кон­цами контактное усилие будет равно:

(8)

где Р_к—контактное усилие, Е—модуль упругости I рода; I_x— осевой момент инерции поперечного сечения УЭ; —длина УЭ (при работе длина УЭ будет переменной, и при увеличении прогиба онa будет уменьшаться, но при изменением длины можно пренебречь); f — перемещение УЭ в точке приложения усилия.

При увеличении прогиба УЭ (от увеличения диаметра контактного штыря) от 0 до f_макс кривизна упругой линии будет увели­чиваться и при некотором значении f₁ будет равна радиусу кривизны эллипса штыря. При этом размеры площадки контактирования будет возрастать. При радиусе кривизны УЭ, равной радиусу кривизны эллипса штыря, УЭ будет касаться штыря по некоторой линии, и при больших величинах перемещения УЭ линия касания контактов будет увеличиваться.

Радиус кривизны упругой линии УЭ равен:

(9)

Из уравнения (8) находим значение Р_к и подставляем в уравнение кривизны:

(8а)

(10)

Откуда следует, что прогиб f₁, будет равен (при R_y=R)

(11)

Прогиб f₁ отсчитывается от положения касательной к опорам. Величину кажущейся площади точечного контактирования УЭ с контактным штырем определяем при помощи уравнения Герца:

(12)

При прогибе УЭ, равной f₁, длина линии контактирования будет равна:

(13)

Контактное усилие Р_к приложено на всей длине контактирования; при равномерном распределении контактное давление равно:

(14)

Расчет кажущейся площади контактирования приведен ниже. Максимальное напряжение при чистом изгибе УЭ будет равно:

(15)

При растяжении УЭ удлинение вызовет напряжение растяжения:

(16)

Это уравнение справедливо при отсутствии сил трения на участках касания УЭ с неупругими деталями.

Силы трения УЭ о штырь и боковые опоры гильзы уменьшат растяжение на участках трения за счет местных сдвигов напряженных слоев в зоне трения, в результате чего возрастет удлинение УЭ па свободные участках и увеличится напряжение растяжения . Однако это увеличение практически небольшое. В то же время смятие на участке контактирования снизит напряжение растяжения в УЭ, поэтому влиянием изменения напряжения растяжения в УЭ oт усилий трения и контактного смятия из-за незначительности и взаимного компенсирования можно пренебречь.

При прогибе УЭ больше f₁ длина линии контактирования будет изменяться и затем станет равной :

(17)

Для определения усилий в контактной зоне выделим в УЭ элемент, ограниченный двумя секущими радиальными плоскостями, расположенными под углом (рисунок 4).

Рисунок 4

В сочлененном состоянии элемент растягивается двумя силами S, расположенными под углом 180°— Геометрическая сумма их равна контактному усилию, приложенному на участке длиной :

.

Просуммировав контактные усилия всех элементов, расположен­ных на участке контактной зоны единичной длины, получим вели­чину единичного контактного усилия р_л:

(18)

где —центральный угол, соответствующий единичной длине дуги эллипса штыря:

(19)

Усилие растяжения УЭ определяется напряжением растяжения

(20)

следовательно, уравнение (П.18) принимает вид:

(21)

Контактное усилие от растяжения в зоне контактирования при равномерно распределенном усилии р_л равно

(22)

Величину кажущейся площади контактирования одного УЭ со штырем при определяем по формуле Герца для случая каса­ния плоскости с цилиндром длиной и диаметром d_п, сжатых рав­номерно распределенным по длине усилием р_л

(23)

где р_л — усилие, приходящееся на единицу длины,

(24)

Для применяемых в ГКП контактных материалов при этом формула (24) имеет вид

(23а)

где Е — приведенный модуль упругости

Подставляем значения Р_к (формула П.22) и A_к (П.23а) в фор­мулу (П.14):

(25)

При совместном воздействии на УЭ изгиба и растяжения кон­тактное усилие будет равно сумме усилий, вызывающих оба вида деформаций:

(26)

Следовательно, и суммарное напряжение в опасном сечении будет равно сумме напряжений от обоих видов деформации:

(27)