5. Квантовые уравнения движения

5.1. Уравнение Шредингера

Итак, состояние системы описывается волновой функцией Ψ, которая определяется конфигурацией системы и конкретным видом силового поля, в котором она находится. Найти волновую функцию частицы, движущейся в каком либо силовом поле, можно с помощью уравнения относительно этой функции:

(5.1)

где – оператор Лапласа, U – потенциальная энергия частицы в конкретном силовом поле (например, энергия электрона в поле притяжения ядра), мнимая единица, m – масса частицы.

Это уравнение (5.1) в 1926 г. получил Шредингер исходя из аналогии между уравнениями, описывающими ход световых лучей с уравнениями, определяющими траектории частиц в классической механике. Уравнение Шредингера постулируется.

5.2. Уравнение Шредингера для свободной частицы

Рассмотрим свободно движущуюся частицу. И если волновой функцией фотона является плоская световая волна, для частиц волновая функция является плоской волной де Бройля, (см. раздел 4).

Для простоты ограничимся одномерным случаем:

(5.2)

Запишем волну де Бройля в комплексной форме:

(5.3)

где частота , волновое число .

Продифференцировав Ψ по времени t, а также дважды по координате x, получим: , (5.4)

Отсюда получаем:

, (5.5)

В нерелятивистской классической механике кинетическая энергия E и импульс p связаны соотношением: (5.6)

Подставив в (5.6) выражения (5.5) и сократив на Ψ, получим уравнение

(5.7)

которое совпадает с (5.1), если в нем U = 0. Отсутствие внешнего силового поля означает, что частица является свободной. Частицу можно считать свободной, если U(x)=const или в общем случае U(r)=const. В этом случае потенциальную энергию можно принять равной нулю.

5.3. Уравнение Шредингера для частицы в силовом поле

Если частица находится в каком-либо силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то: (5.8)

где Е – полная энергия частицы

В этом случае уравнение Шредингера будет иметь вид:

(5.9)

Уравнение (5.9) является частным случаем уравнения (5.1) для частицы, совершающей одномерное движение. Уравнение (5.1) называется общим уравнением Шредингера.

5.4. Стационарное уравнение Шредингера

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени:

(5.10)

Здесь E – полная энергия частицы, которая в случае стационарного внешнего поля остается постоянной. Подставим (5.10) в (5.1):

(5.11)

Сократив на общий множитель , придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию ψ(x, y, z):

(5.12)

Уравнение (5.12) относительно координатной части волновой функции называется стационарным уравнением Шредингера. Далее мы будем иметь дело только с ним.

Это уравнение имеет бесчисленное множество решений, однако при наложении граничных условий, а также упомянутых выше требований (ограниченность, однозначность и непрерывность волновых функций, а также непрерывность частных производных) остается ряд решений, который имеет физический смысл. Эти решения имеют место только при определенных значениях параметра E, которые называются собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений Е называется энергетическим спектром. Решения, соответствующие собственным значениям энергии Е, называются собственными функциями задачи.

Простейшей задачей на собственные функции и собственные значения является движение свободной частицы, упомянутой выше. Оно задается уравнением: (5.13)

Его частным решением является функция , где A=const, ψ(x) является координатной частью волновой функции Ψ(x,t).

Функции ψ(x) соответствуют собственные значения энергии

(5.14)

где . Это выражение верно для нерелятивистской частицы. А поскольку волновое число k может принимать любые положительные значения, то энергетический спектр свободной частицы является непрерывным. Таким образом, свободная частица имеет непрерывный спектр. Для пояснения следует вспомнить спектр излучения электрона в атоме. В этом случае электрон находится в связанном состоянии, и спектр имеет дискретный характер. При отрыве электрона от атома он перестает чувствовать поле ядра, то есть для U → 0, а излучение электрона становится непрерывным, как это предсказывает уравнение Шредингера (5.13).