4.2. Принцип неопределенности Гейзенберга

И свет, и микрочастицы в любой момент одновременно являются и частицей и волной. Только в некоторых случаях одно из свойств выражено меньше. Например, для электромагнитной волны частотой меньше 10¹² с^–1 (это радиоволны) корпускулярные свойства практически невозможно обнаружить, а гамма-излучение (частота больше 10²⁰ с^–1) ведет себя как частица и не проявляет волновых свойств. Рентгеновское и видимое излучение занимают промежуточное положение (10¹⁵ ≤ ω ≤ 10¹⁹ с^–1), и для этих видов мы можем наблюдать как корпускулярные свойства (фотоэффект, эффект Комптона), так и волновые свойства (дифракция, интерференция). Если же говорить о волновых свойствах частиц, то тут правила еще проще: чем мельче частица, тем заметнее для нее волновые свойства, если же частицу заставить расти, то волновые свойства быстро теряются и остаются только корпускулярные. Можно даже сказать, что каждый из нас обладает волновыми свойствами, однако этот эффект настолько мал, что ни зарегистрировать его каким либо прибором, ни использовать для получения, например, дифракции не возможно. И этот факт наглядно отражен в одном из основных принципов квантовой физики – это принцип неопределенности Гейзенберга.

Для понимания ниже сказанного уточним, что понятие неопределенность здесь имеет смысл некоторого интервала ∆x, в который укладывается значение величины x. То есть, если ∆x = 0, то это значит, что мы имеем точное (или определенное) значение величины x. Итак, одна из возможных формулировок принципа неопределенности гласит:

Произведение неопределенностей координаты ∆x частицы и проекции ее импульса ∆p_x на ту же ось не может по порядку величины быть меньше постоянной планка ħ: (4.5)

Если сказать другими словами, то чем точнее мы можем измерить одну из указанных величин, тем больший разброс будет иметь вторая.

Рассмотрим движение частицы вдоль оси Y, на пути которой установлено препятствие с небольшим отверстием (рис. 4.4). До прохождения через отверстие частица имеет вполне определенное значение проекции импульса на ось х, так как по условию задачи известно, что перемещение частицы происходит в заданном направлении.

Рис. 4.4. Прохождение частицы через отверстие малой ширины

Однако при этом мы совершенно не знаем, в какой точке находится частица в каждый момент времени. Знаем, куда движется, не знаем, где находится, и наоборот! То есть для частицы квантовой природы утрачивает смысл понятие траектория.

В тот момент, когда частица проходит через отверстие, мы можем указать для нее довольно точное местоположение – ее координата попадет в интервал ∆x, равный ширине отверстия. В тот же самый момент происходит изменение импульса частицы. Его значение становится неопределенным ровно на столько, на сколько определенным стало значение координаты частицы.

То есть мы получаем некоторый разброс в направлении движения частицы после прохождения преграды, что и отражается в виде появления ненулевого ∆p_x. Как показывают эксперименты, вследствие дифракции, частица может вылететь в любом направлении в пределах угла 2φ (рассматриваем центральный дифракционный максимум, так как при дифракции на одной щели интенсивность остальных максимумов пренебрежимо мала). Вероятность движения под некоторым углом φ можно измерить, определив степень почернения в точке А на фотопластинке. Как видно из рисунка частица, прошедшая под таким углом имеет неопределенность импульса ∆p_x:

(4.6)

Для первого дифракционного максимума выполняется соотношение:

Учтем, что длина волны де Бройля может быть записана через импульс:

Подставляем в формулу (4.6):

(4.7)

Отсюда получаем: (4.8)

Если учесть, что наблюдаются также еще и максимумы второго и бóльших порядков, то математически это означает, что ∆x будет больше, чем мы учли в формуле (4.8). Следовательно, произведение будет больше: (4.9)

Таким образом, мы пришли к соотношению неопределенности Гейзенберга.

Соотношение, аналогичное (4.5), можно записать для другой пары физических величин – энергии и времени:

(4.10)

Выполнение этого условия определяет естественную ширину спектральных линий. На схемах спектры атомов рисуют в виде тонких линий. У реальных линий есть определенная ширина – интервал энергий ∆Е, который соответствует данному энергетическому состоянию. Используя формулу (4.10), можно оценить ∆Е. Время жизни в возбужденном состоянии составляет ∆t ≈ 10^–8 с. Тогда неопределенность энергии составляет:

Ширину линии можно выразить через частоту:

Неопределенность частоты конечно мала по сравнению с абсолютным значением частоты света (ω ~ 10¹⁵ с^–1), но она определяет «размытость» спектрального уровня и называется естественной шириной спектральной линии. Никакой высокоточный прибор, ни увеличение числа измерений не сможет позволить определить энергию спектральной линии с точностью бóльшей, чем ∆ω.

Гейзенберг и Бор показали, что ни один эксперимент не может дать результатов, противоречащих соотношениям неопределенности. Даже по отношению к массивным телам эти принципы выполняются, но ограничения, накладываемые на движение крупных тел, являются совсем ничтожными. Например, пусть маленькая капля воды диаметром 0.1 мм (m = 5·10^–10 кг) движется со скоростью V = 10 м/с. Если точность измерения ее скорости составляет 10%, то ∆p = m∆V = 5·10^–10 кг·м/с. Тогда неопределенность в определении координаты равна:

,

что в 10²⁰ раз меньше диаметра капли. То есть координата капли в каждый момент известна с точностью 10^–24 м.