Приложение некоторые сведения из разделов математики
Выбор системы координат и некоторые действия над векторами
Для математического нахождения положения точки в пространстве строится прямоугольная система координат, введенная Р.Декартом. Все три оси в декартовый системе координат взаимно перпендикулярны. Оси координат обозначают: x, y, z. Возможны два варианта ориентации осей координат –правовинтовая и левовинтовая. Правовинтовая декартова система координат построена так, что ось z имеет положительные направления в направлении закручивания правого винта от оси x к оси y по минимальному (прямому) углу. В зависимости от выбора направлений осей, некоторые операции над векторами, в частности векторное произведение, меняются по знаку на противоположный. Все дальнейшие определения приводятся к правовинтовой системе координат.
Единичные
отрезки, отсекаемые на осях координат
называются ортами осей координат и
обозначаются i,
j
и k.
Орты осей координат являются единичными
векторами, направленными по направлению
оси. Радиус-вектор
,
проведенный из начала координат,
определяется его проекциями на
координатные оси x,y
и z,
следующим образом:
.
Вектором,
называется направленный отрезок прямой.
Скаляром называется любая не векторная
величина, имеющая только значение.
Координаты вектора
,
через его конец
и
начало
,
определяются:
.
Модуль или длина вектора
,
равна
.
Над
векторами разрешены операции сложения
и умножения. Пусть заданы векторы
и
,
тогда:
.
Операций
умножения две: скалярная, обозначаемая
или
,
и векторная – 
или
:
.
Направление
вектора
выбирается в сторону, куда по минимальному
углу от вектора
к вектору
закручивается
правый винт.
Смешанное
векторное произведение
.
Пусть в
пространстве задано векторное поле
,
то можно вычислить градиент, дивергенцию
и ротор векторного поля. Вектор градиента
показывает направление возрастания
функции
,
т.е. направление кратчайшего хода к
вершине горы функции. Дивергенция
вектора, показывает скорость нарастания
функции, т.е. как долго мы пойдем к вершине
с постоянной скоростью. Ротор вектора,
показывает, направление возможных
отклонений на пути к вершине.
Градиент вектора:
Дивергенция вектора:
где V – объем, ограниченный замкнутой поверхностью, площадью S
Ротор вектора:
Оператор
Гамильтона или набла-оператор:
.
Тогда:
(действие
оператора на вектор);
(скалярное
произведение);
(векторное
произведение).
Правила дифференцирования и интегрирования
Если
,
и
,
то справедливы следующие выражения
дифференцирования:
.
Дифференцирование векторного произведения производится по правилу:
.
Если , и , то справедливы следующие выражения интегрирования:
.
Комплексная арифметика
Мнимой,
или комплексной единицей называют число
,
получаемое при решении уравнения
.
С введением комплексного числа, можно любое число z на множестве всех чисел представить в виде:
,
где Re – действительная часть числа, а Im – мнимая.
Число
называют
комплексно сопряженным числу z.
Квадратом модуля комплексного числа, по аналогии с квадратом модуля вектора, называют величину:
.
Из определения квадрата модуля комплексного числа, легко доказать формулу Эрланга:
,
где x – любое действительное число, а z – комплексное.
Докажем это, вычисляя квадрат модуля комплексного числа:
Применяя определения комплексного числа и формулу Эрланга можно доказать:
,
где
– константы,
или:
и
