Домашнее задание

1. Решить нерешенные в классе задачи на составление оптимальных смесей.

2. Прочитать приведенное описание класса задач на оптимальный раскрой. Разобрать примеры и решить задачи для самостоятельного решения.

ЗАДАЧИ НА ОПТИМАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ

Задачи на оптимальный раскрой являются задачами, обратными задачам по оптимизации смесей. Требуется раскроить (разбить, разрезать, разложить) некоторую совокупность на несколько однородных составляющих. При этом следует выполнить требования по ограничениям и оптимальности операции раскроя.

Словесная формулировка. Имеется n видов сырья в количестве а₁, а₂, . . . , а_n условных единиц соответственно. Нужно изготовить m видов изделий в количестве не менее соответственно, каждое из которых состоит из типовых деталей, получаемых путем раскроя сырья. Известно, что каждую условную единицу j-го вида сырья можно раскроить способами, причем каждый l-й способ раскроя дает при этом типовых деталей каждого вида соответственно. Каждое изделие i-го вида состоит из типовых деталей. Задача состоит в том, чтобы определить оптимальный план раскроя (то есть количество раскроев по каждому виду сырья), при котором минимизируются суммарные отходы, а количество изделий из полученных в результате раскроя деталей оказывается не меньше указанных величин.

Формальная постановка. Пусть количество раскроев j-го вида сырья по q-му варианту (всего таких вариантов может быть ), причем величина отходов по каждому из раскроев равна . Тогда суммарная величина отходов при этом будет равна . Количество типовых деталей r-го вида при этом будет равно . Условием обеспеченности деталями r-го вида в нужном количестве всех изделий i-го вида является условие . В итоге задача на оптимальный раскрой принимает вид:

(1)

(2)

Пример 1. Стальные прутья длиной 111 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45, 35 и 50 см. Требуемое количество заготовок данного вида должно быть не менее соответственно 41, 30 и 20 шт. Возможные варианты разреза прутьев на заготовки и величина отходов при каждом из них приведены в следующей таблице:

Количество заготовок по вариантам разрезов	Варианты разреза
	№1	№2	№3	№4	№5	№6
Кол-во заготовок в 45 см	2	1	1	-	-	-
Кол-во заготовок в 35 см	-	1	-	3	1	-
Кол-во заготовок в 50 см	-	-	1	-	1	2
Величина отходов (см)	21	31	16	6	26	11

Определить, сколько прутьев по каждому из возможных вариантов следует разрезать, чтобы получить не менее нужного количества заготовок каждого вида при минимальных отходах.

Решение. Пусть количество разрезов по k-му варианту. Тогда из табличных данных получаем ЗЛП, целевая функция которой дает суммарную величину отходов, а левые части ограничений – количества напиленных заготовок требуемых длин:

;

Создаем шаблон (рис 1) и решаем задачу:

Рис. 1. Шаблон с решением задачи примера 1

Ответ: минимальные отходы равны 606 см. Вариантов оптимального раскроя, решающих задачу, несколько. Два из них приведены в таблице:

	Количество распилов по вариантам разреза прутков
	Вар. 1	Вар 2	Вар 3	Вар 4	Вар 5	Вар 6
Раскрой 1	18	0	5	10	0	8
Раскрой 2	20	0	1	10	0	10

Пример 2. При раскрое деталей для некоторого изделия на швейной фабрике используются два типа ткани. Изделие собирается из двух деталей, каждая из которых может быть получена путем раскроя из ткани любого типа. Ткани на фабрику поступают в рулонах; выход деталей после раскроя одного погонного метра указанных тканей приведен в таблице:

Способ раскроя ткани 1	Ткань А		Ткань В		Способ раскроя Ткани 2
	1-ый тип детали	2-ой тип детали	1-ый тип детали	2-ой тип детали
1	8	0	12	0	1
2	0	3	0	4	2
3	4	1	6	2	3

На фабрику поступает 3000 м ткани А и 2000 м ткани В. Выход готовых изделий должен быть максимальным.

Каково максимальное количество изделий?

Рис. 2. Шаблон с решением задачи примера 2

Ответ: 12750 изделий.