Занятие 10

Тема 1: неантагонистические бескоалиционные игры. Определение равновесных по Нэшу ситуаций.

Тема 2: антагонистические игры

Пусть задана игра в нормальной форме. Всего играет игроков; множество чистых стратегий го игрока известно: , . Игроки независимо друг от друга выбирают стратегии, в результате образуется ситуация , и ый игрок получает выигрыш (функции выигрышей заданы). Равновесной по Нэшу ситуацией называется такая ситуация, отклонение поодиночке от которой ни для одного из игроков не приносит увеличения его выигрыша, т.е., если - это выигрыш го игрока в ситуации , а ситуация, получаемая из ситуации заменой ым игроком своей чистой стратегии на стратегию , то в этом случае , .

Равновесные по Нэшу ситуации принято считать классическими решениями бескоалиционной игры.

Задача 1. Имеется два предприятия (П1 и П2), выпускающие товар одного вида. Себестоимость единицы товара для го предприятия равна . Если общее количество товара на рынке, то цена единицы товара рынка , где a и b – положительные числа. Производственные мощности предприятий не ограничены, и они независимо друг от друга выбирают количество производимого товара. Весь произведенный товар продается по цене . Цель каждого предприятия состоит в том, чтобы получить наибольшую прибыль от продажи товара. Предполагается, что . Предположим, что предприятия могут выпускать продукцию в объемах, кратных 100. Требуется с помощью Excel для любых наперед заданных параметрах научиться определять наиболее выгодные для обоих предприятий объемы производства, при которых формируется устойчивое рыночное равновесие.

Решение. Представим задачу как задачу бескоалиционной неантагонистической игры двух лиц. Обозначим через и объемы (в кол-ве единиц) товара, производимого и выставляемого на продажу предприятиями П1 и П2 соответственно. Указанные объемы производства и будут являться, по сути, чистыми стратегиями предприятий. Вектор в этом случае определяет собой игровую ситуацию, от которой существенным образом зависит уровень рыночной цены и значения прибылей предприятий. Цена единицы товара, согласно условию задачи, определится формулой . Следовательно, прибыль го предприятия будет равна . Задача, таким образом, сводится к вычислению векторов прибылей для всех возможных ситуаций и выявления таких из них, для которых отклонение поодиночке ни для какого предприятия не приносит увеличения прибыли. Эти ситуации равновесия по Нэшу и определят решение игры. Ниже приведен фрагмент рабочего листа Excel с решением задачи. Задавая разные значения для , получаем возможность анализировать различные варианты состояния рынка.

Задача 2. Экологический конфликт. Два предприятия (А и В ), используют по 1 усл. ед. воды из водоема и после использования сбрасывают ее обратно. Если суммарный объем сбрасываемой воды не превышает некоторого уровня , , то происходит ее естественное очищение, и общий водный ресурс сохраняется. Иначе водоем загрязняется и возникает проблема его восстановления за счет предприятий и, возможно, уплаты штрафов. Каждое из предприятий может построить очистные сооружения из специальных блоков. Предположим, что один блок способен очистить 25% всей потребляемой одним предприятием воды, так что сооружение из четырех блоков обеспечивает полную очистку. Суть конфликта состоит в том, что каждое из предприятий стремится обеспечить себе более благоприятные условия деятельности путем более свободного расходования воды, отказа от ее восстановления и т.д. Предположим, что затраты на приобретение, монтаж и эксплуатацию одного блока достигают рублей, а затраты каждого предприятия на реконструкцию водоема в случае его загрязнения (включая штрафы) - рублей. Представьте возникшую ситуацию как бескоалиционную игру двух лиц и решите ее.

Решение. В качестве решения игры можно взять равновесную по Нэшу ситуацию. Для того чтобы найти такую ситуацию, обозначим через и количество неочищенной воды, сбрасываемой предприятиями А и В в водоем. Тогда количество очищаемой воды составляет на предприятии А, на предприятии В, причем

Конкретные значения величин и определяются числом очистных блоков. Возможными стратегиями предприятий в такой ситуации являются

	Стратегии
	А1 , В1	А2 , В2	А3 , В3	А4 , В4	А5 , В5
Описание стратегий	Очистка всей воды; =0 и =0	Очистка 75% всей воды; =1/4 и =1/4	Очистка 50% всей воды; =1/2 и =1/2	Очистка 25% всей воды; =3/4 и =3/4	Отсутствие очистки =1 и =1

Н

		А	В
Уровень очистки				Затраты предприятий

етрудно определить, что потери (расходы) предприятий А и В зависят от уровня совместного сброса неочищенной воды определяются следующим образом (см. таблицу справа):

Ниже приведен фрагмент рабочего листа Excel с решением задачи. Предельно допустимый сброс загрязненной воды определяется параметром . Задавая разные значения для , получаем возможность анализировать различные варианты конфликтов.

Очевидно, результаты проводимого анализа должны зависеть от соотношений между , и , поэтому представляют интерес случаи, рассмотренные ниже.

В первых трех случаях берется =1/3 (устойчивость водоема к загрязнению средняя).

Случай 1. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов намного ниже стоимости одного очистного блока ( или ). В этом случае крайний справа столбец (платежи предприятия В при стратегии В₅) доминирует остальные столбцы (речь идет о проигрышах стороны В, которые нужно уменьшать). То же самое относится к последней (нижней) строке, указывающей на возможность снижения затрат стороны А. Следовательно, искомая ситуация равновесия есть (А₅, В₅).

Случай 2. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов намного превосходят стоимость сооружений для полной очистки воды ( ). В этом случае обнаруживается доминирование первой (верхней) строки и первого (слева) столбца. Две ситуации равновесия: Стороне А выгоден вариант (А₂, В₁), стороне В – вариант (А₁, В₂) и необходимо какое-то дополнительное соглашение между сторонами. Действия сторон сводятся к установке относительно недорогих очистных блоков, и это позволяет избежать ущерба, выраженного в единицах .

Случай 3. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов соизмеримы со стоимостью сооружений для полной очистки воды, хотя и превышают ее ( ). Стороне А выгоден вариант (А₂, В₁), стороне В – вариант (А₁, В₂) и необходимо какое-то дополнительное соглашение между сторонами.

В следующих трех случаях берется (устойчивость водоема к загрязнению очень низка).

Случай 4. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов намного ниже стоимости одного очистного блока ( или ). Искомая ситуация равновесия есть (А₅, В₅).

Случай 5. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов намного превосходят стоимость сооружений для полной очистки воды ( ). Здесь две ситуации равновесия: и (А₅, В₅) (первая предпочтительнее).

Случай 6. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов соизмеримы со стоимостью сооружений для полной очистки воды, хотя и превышают ее ( ). Здесь тоже две ситуации равновесия: и (А₅, В₅).

В следующих трех случаях берется (устойчивость водоема к загрязнению очень высока).

Случай 7. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов намного ниже стоимости одного очистного блока ( или ). Есть ли ситуации равновесия и каковы они? Ответ: (А₅, В₅).

Случай 8. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов намного превосходят стоимость сооружений для полной очистки воды ( ).Есть ли ситуации равновесия и каковы они? Ответ: (А₄, В₁), (А₃, В₂), (А₂, В₃), (А₁, В₄).

Случай 9. Затраты на восстановление водоема и выплату штрафов соизмеримы со стоимостью сооружений для полной очистки воды, хотя и превышают ее ( ). Здесь те же четыре ситуации равновесия: (А₄, В₁), (А₃, В₂), (А₂, В₃), (А₁, В₄).

Задача 3. Две конкурирующие фирмы F1 и F2 производят и выставляют на продажу одинаковый товар в количестве и (у.е.) соответственно. Стоимость единицы товара на рынке зависит от общего количества произведенного фирмами и выставленного на продажу товара и определяется формулой

.

Требуется определить равновесную по Нэшу ситуацию, т.е., определить, в каких количествах фирмам следует производить продукцию, чтобы отклонение поодиночке от найденных объемов производства было бы невыгодно для любой из них. Определите также значения прибылей упомянутых фирм в равновесной по Нэшу ситуации, если известно, что себестоимость производства единицы продукции первой фирмы равна 10, а второй  15.

При решении задачи считать, что объемы производства продукции фирмами могут принимать значения 50; 100; 150; 200; 250.

Ответ: = =150; ; .