Описание математической модели

Математическая модель использует инструментарий и встроенные функции математического пакета Mathcad и состоит из двух основных частей. В первой части исследуется сепаратриса и рассматриваются синхротронные колебания в стационарном режиме. Во второй часть работы рассматриваются поведение сепаратрисы и параметры синхротрона в процессе ускорения.

В первой части преподавателем, согласно варианту, задаются следующие основные параметры моделирования:

Постоянные величины:

заряд частицы q_e = 1.6 ∙ 10^-19 Кл

скорость света c = 3 ∙ 10⁸ м/c

кратность ВЧ q = 67

периметр ускорителя P = 110.89 м

Переменные величины:

энергия равновесной частицы при инжекции W_b = 10 МэВ

энергия покоя электрона W₀ = 5.11 ∙ 10⁵ эВ

энергия покоя протона W₀ = 9.38 ∙ 10⁸ эВ

начальное относительное отклонение

неравновесной частицы по энергии ΔW₀ = 0.05

коэффициент уплотнения орбит α = 0.011

амплитуда высокочастотного напряжения V_rf = 1.5 МВ

Результатами расчета является фазовая плоскость (в переменных ΔW, φ) с сепаратрисой и фазовой траекторией неравновесной частицы, а также график изменения амплитуды (фазы) синхротронных колебаний в зависимости от времени. Кроме этого имеется анимированный график, показывающий напряжение, видимое равновесной и неравновесной частицами в момент пролета в ВЧ резонаторе. Расчеты сделаны в приближении, что синхротрон работает в режиме накопителя, т.е. равновесная фаза выбрана таким образом, чтобы компенсировать потери энергии равновесной частицы на синхротронное излучение.

Во второй части работы преподавателем задаются следующие переменные величины:

энергия инжекции W_min = 80 ∙ 10⁶ эВ

максимальная энергия W_max = 2500 ∙ 10⁶ эВ

время ускорения T_уск = 0.5 с

амплитуда высокочастотного напряжения V_rf = 1.5 МВ

Результатами расчета являются анимированный график сепаратрисы и начальной фазы (нулевой кадр – начало ускорения, а каждый кадр соответствует 10 мс ускорения). Также имеется статический график изменения частоты ВЧ генератора в процессе ускорения. Расчеты сделаны в приближении, что напряжение на ВЧ резонаторе в процессе ускорения не меняется и в процессе ускорения равновесная фаза выбирается таким образом, чтобы компенсировать увеличивающиеся потери энергии равновесной частицы на синхротронное излучение.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с математической моделью, разработанной для изучения особенностей фазового движения пучка заряженных частиц в синхротроне.

2. При заданном, согласно варианту, значении коэффициента уплотнения орбит, рассчитать критическую энергию для электронов и протонов.

3. Исследовать сепаратрису и равновесную фазу для электронов и протонов выше и ниже критической энергии при постоянном напряжении ВЧ резонатора. Аналитически и по графику определить крайнюю правую и крайнюю левую фазы, найти ширину сепаратрисы и максимально возможное отклонение частиц по энергии.

4. Для электронов выше критической энергии исследовать изменение сепаратрисы при изменении напряжения на ВЧ резонаторе.

5. Рассчитать частоту синхротронных колебаний, определить ее по графику для случая линейных и нелинейных колебаний и сравнить получившиеся результаты. Определить амплитуду колебаний неравновесной частицы.

6. Изучить изменение размеров сепаратрисы в процессе ускорения: в частности изменение сепаратрисы выше критической энергии и переход через критическую энергию.

7. Изучить зависимость изменения частоты ВЧ поля в процессе ускорения электронного и протонного пучка. Сравнить полученные графики. Найти через какое время после начала ускорения, частота ВЧ поля отличается менее чем на 5% от конечной частоты.

8. Определить частоту обращения электронов и протонов при впуске в синхротрон и выпуске из него при кратности частоты ВЧ генератора q = 67.