7. Непрерывные случайные величины

а ) Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Найти интегральную функцию распределения, вычислить числовые характеристики и построить графики функции распределения и плотности распределения.

б) Непрерывная случайная величина задана функцией распределения . Найти плотность распределения, вычислить числовые характеристики и построить графики функции распределения и плотности распределения.

7.1.
а)	б)

7.2.
а)	б)
7.3.
а)	б)
7.4.
а)	б)
7.5.
а)	б)
7.6.
а)	б)
7.7.
а)	б)

7.8.
а)	б)
7.9.
а)	б)
7.10.
а)	б)
7.11.
а)	б)
7.12.
а)	б)
7.13.
а)	б)
7.14.
а)	б)

7.15.
а)	б)
7.16.
а)	б)
7.17.
а)	б)
7.18.
а)	б)
7.19.
а)	б)
7.20.
а)	б)

7.21.
а)	б)
7.22.
а)	б)
7.23.
а)	б)
7.24.
а)	б)
7.25.
а)	б)
7.26.
а)	б)

7.27.
а)	б)
7.28.
а)	б)
7.29.
а)	б)
7.30.
а)	б)

8. Нормальное распределение

1. Размер диаметра детали задан полем допуска 20-25 мм. В некоторой партии деталей средний размер их диаметра оказался равным 23,2 мм, а среднее квадратическое отклонение 1 мм. Считая, что размер диаметра детали подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака.

2. Размер гайки задан полем допуска 60-65 мм. В некоторой партии гаек средний размер оказался равным 62,8 мм, а среднее квадратическое отклонение – 1,1 мм. Считая, что размер гайки подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака по размеру гайки.

3. Диаметр подшипников, выпускаемых заводом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 16 мм и дисперсией 0,16. Найти вероятность брака при условии, что для диаметра подшипника принимается допуск - 0,7 мм.

4. Цех выпускает детали двух типов. Распределение их длины - нормальное. Для деталей 1-го типа математическое ожидание равно 40 мм, а дисперсия- 0,25. Для типа 2-го - математическое ожидание 25 мм, дисперсия - 4. Что вероятнее - попадание размера детали 1-го типа в интервал [38;43] или детали 2-го типа в интервал [24;27]?

5. Диаметр деталей, изготовленных автоматом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Дисперсия ее равна 4, а математическое ожидание- 20,5 мм. Найти вероятность брака, если допустимые размеры диаметра детали должны быть 20 3 мм.

6. На автомате изготавливают заклепки, диаметр головок которых распределяется по нормальному закону с математическим ожиданием 3 мм и дисперсией 0,01. Какую точность диаметра головок заклепок можно гарантировать с вероятностью 0,9216?

7. Детали, изготовленные автоматом, по размеру диаметра распределяются по нормальному закону. Известно, что математическое ожидание равно 4,5, а дисперсия – 0,09. Определить границы, в которых следует ожидать размер диаметра детали, если вероятность невыхода за эти границы равна 0,95.

8. Длина изготовляемой детали представляет нормально распределенную величину Х. Математическое ожидание ее равно 8 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см. Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 0,2 см.

9. Станок – автомат производит валики. Пригодность валика определяется величиной его диаметра Х. Определить вероятность того, что взятый наугад валик окажется годным, если известно, что среднее значение, на которое настроен станок, равно 25 мм, среднее квадратическое отклонение составляет 0,4 мм, а допустимая величина отклонения размера диаметра валика от среднего - равна 0,6 мм.

10. Ведется стрельба из орудия по заданному направлению. Дальность полета снаряда распределена по нормальному закону, математическое ожидание равно 3 км, среднее квадратическое отклонение – 0,5 км. Найти вероятность того, что выпущенный снаряд из орудия попадает в интервал от 2 до 5 км.

11. Производится измерение длин втулок, причем без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 12 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

12. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание - 20 км, среднее квадратическое отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 19,8 км.

13. Диаметр стальных орудий, выпускаемых цехом, представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием 75 мм и средним квадратическим отклонением 0,3 мм. Найти вероятность брака по размеру диаметра, если допустимые размеры диаметра стержня составляют 75 0,5 мм.

14. Продолжительность горения электроламп в некоторой партии оказалось нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 1200 ч и средним квадратическим отклонением 50 ч. Найти с вероятностью 0,95 границы продолжительности горения наугад взятой электролампы.

15. Имеется партия доброкачественных втулок без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 12 мм.

16. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с математическим ожиданием – 20 км, средним квадратическим отклонением – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не более 20,1 км.

17. При обследовании работы автоматической линии оказалось, что длина выпускаемой детали является нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой равно 30 см, среднее квадратическое отклонение - 0,5 см. Для стандартной детали отклонение длины от 30 см не должно превышать 0,8 см. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь не будет удовлетворять этим требованиям.

18. Диаметр деталей, изготовленных цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, математическое ожидание – 2,5 см. В каких границах с вероятностью 0,98 можно гарантировать размер диаметра детали?

19. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с параметрами: математическое ожидание равно 172 см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Определить процент лиц, рост которых ниже 165 см.

20. Какова вероятность того, что наугад опрошенный инженер получает зарплату от 150 до 190 руб., если известно, что зарплата распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 150 руб. и средним квадратическим отклонением 30 руб.

21. Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 20 см и средним квадратическим отклонением 2 см. В каких границах с вероятностью 0,9216 можно гарантировать размер диаметра шарика?

22. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: математическое ожидание – 20 км, среднее квадратическое отклонение – 100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами на менее 20,3 км, но не более 20,75 км.

23. Рост взрослого мужчины представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средний рост равен 170см, а среднее квадратическое отклонение равно 6 см. Найти вероятность того, что рост случайно выбранного мужчины находится в границах от 182 до 191 см.

24. Завод изготовляет шарики для подшипников. Диаметр шарика – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 5 мм и средним квадратическим отклонением 0,05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от среднего больше, чем на 0,1 мм. Определить какой процент шариков в среднем будет отбраковываться?

25. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром 30 мм, но проходит через отверстие диаметром 45 мм, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из условий не выполняется, то шарик бракуется. Диаметр шарика есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 37,5 и средним квадратическим отклонением 3,75. Найти вероятность того, что шарик будет забракован.

26. Рост лиц призывного возраста предполагается нормально распределенным с математическим ожиданием 172 см, средним квадратическим отклонением 6 см. Определить процент лиц, рост которых выше 175 см.

27. Диаметр шарика подшипника является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Размер диаметра задан полем допуска 40-45 мм. Средний размер шарика равен 42,5 мм. Брак составляет 10% от всего выпуска. Найти среднее квадратичное отклонение диаметра шарика.

28. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами =375г., =25г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет больше 300г.

29. Станок автоматически изготавливает валики, контролируя их диаметры . Считая, что случайная величина распределена нормально с параметрами =10мм, =0,1мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут диаметры изготовленных валиков.

30. При изготовлении некоторого изделия его вес подвержен случайным колебаниям. Стандартный вес изделия равен 30г, его среднее квадратическое отклонение равно 0,7, а случайная величина распределена по нормальному закону. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия находится в пределах от 28 до 31г.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Таблица значений функции

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002	3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1619 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002	3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613 2317 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002	3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 0008 0006 0004 0003 0002	3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0006 0004 0003 0002	3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002	3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002	3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002	3977 3925 3836 3712 3555 3372 3116 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001	3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001