
5.2.2 Статистические оценки параметров распределения
В ряде практических случаев ограничиваются нахождением приближенных значений неизвестных параметров распределения случайной величины по опытным данным, т.е. статистических оценок таких числовых характеристик как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Под оценкой
параметра
обычно понимают величину, принимаемую
за неизвестный параметр a.
Требования к оценке параметров. Для того, чтобы оценка параметра имела практическую ценность, она должна (по возможности) обладать свойствами: несмещенности, эффективности и состоятельности.
Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению параметра, т.е.
.
Исключение
смещенности оценки гарантирует отсутствие
систематических ошибок при оценке
истинного значения параметра a.
Если
,
то оценка
называется смещенной, что приводит к
систематическим ошибкам в оценке
параметра a.
Несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшее рассеяние среди всех несмещенных оценок параметра a по результатам измерения, т.е.
.
Эффективность оценки означает стремление дисперсии к нулю при неограниченном возрастании объема выборки.
Оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении числа измерений n она стремится по вероятности к значению a, т.е.
.
Оценка истинного значения параметра a при равноточных измерениях является несмещенной и состоятельной. Если при этом случайные ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, то эта оценка будет и эффективной.
В качестве оценки для математического ожидания применяют среднее арифметическое значений выборки, т.е.
.
(5.3)
Эта оценка является
несмещенной и состоятельной. Проверка
требования эффективности оценки
параметра значительно сложнее. Однако
если случайная величина распределена
по нормальному закону, то оценка
математического ожидания m
является также эффективной оценкой и
имеет минимальную дисперсию
.
Для других же законов распределения эта оценка может и не быть эффективной.
За оценку для дисперсии принимают среднее арифметическое квадратов центрированных значений выборки:
.
(5.4)
Эта оценка является состоятельной, но смещенной оценкой дисперсии. Оценка же дисперсии, называемая исправленной дисперсией
,
(5.5)
является состоятельной, несмещенной, но и неэффективной. Исправленная дисперсия отличается от статистической дисперсии D*(x) лишь постоянным множителем n/(n-1).
Для нормально распределенных случайных величин эта оценка лишь «асимптотически эффективна», т.е. при неограниченном увеличении числа испытаний n она приближается к минимальному значению.
При достаточно
больших значениях n
смещенная статистическая дисперсия
D*(x)
и исправленная дисперсия
будут различаться незначительно, поэтому
в качестве оценки для дисперсии можно
применять любую из них.