1.10. Проблема адекватности

Пусть заданы две шкалы U_E,f₁, U_Zи U_E,f₂, U_Z некоторого типа. Пусть x)- преобразование. соответствующее этим шкалам, которое переводит их друг в друга и еще в некоторое множество шкал того же типа. Пусть проведены наблюдения над N объектами А = {a₁,a₂ …a_N }, то есть измерены значения признаков X₁=( f₁(a₁),… f₁(a_N))^Т и X₂=( f₂(a₁),… f₂(a_N))^Т в первой и второй шкалах соответственно.

Рассмотрим некоторую числовую операцию s(X), которая ставит в соответствие некоторому вектору Х = (x₁,… x_N)^Т некоторое действительное число s(X)R, где R- множество действительных чисел. Рассмотрим на множестве пар R х R отношение Р R х R как некоторое отношение из множества отношений Р{<,=,>}. Пусть результаты числовых операций s(X₁) и s(X₂) над значениями признаков X₁ и X₂ связаны отношением s(X₁)Ps(X₂), то есть пара (s(X₁) , s(X₂))Р.

Тогда, если результаты числовых операций s(Ф(X₁)) и s(Ф(X₂)) над значениями признаков Ф(X₁)=((f₁(a₁)),…(f₁(a_N))^Т и Ф(X₂)=((f₂(a₁)),…(f₂(a_N))^Т также связаны отношением s(Ф(X₁))P s(Ф(X₂)), то операция s(X) является допустимой или адекватной шкале данного типа. Рассмотрим примеры. Пусть на множестве объектов А= {а₁,а₂,а₃} измерены признаки X₁ и X₂ в пятибалльной шкале порядка, и получена матрица Х (Рис. 1.12).

24

X₁ X₂ Y₁ Y₂

а₁ 1 2 а₁ 1 4

а₂ 2 3 а₂ 4 9

а₃ 5 4 а₃ 25 16

8 930 29

 2.6 3.0 10.0 9.7

Рис. 1.12. Измерение в шкале порядка.

Пусть объекты из А одинаково упорядочены по обоим признакам а₁ а₂  а₃ . Вычислим среднее по каждому признаку и получим, что , так как 2.6 < 3.. Следовательно, можно заключить, что значения признака X₂ в среднем выше значений признака X₁.

Пусть логика исследования привела к необходимости значительно увеличить число градаций признаков и перейти к 25-балльной шкале порядка. Пусть новая шкала подобрана так, чтобы большие значения признаков различались сильнее, чем малые значения. Для получения такой шкалы использовано монотонное преобразование (x)=x², соответствующее типу данных шкал, то есть шкал порядка. В результате была получена матрица Y, образованная признаками Y₁ = Ф(X₁) и Y₂= Ф(X₂). Данное преобразование (x) допустимо, так как сохраняет исходную упорядоченность объектов из А. Но, вычислив среднее арифметическое, мы обнаружим, что , так как 10 > 9.7. Следовательно, в данном эксперименте при переходе к другой шкале того же типа. мы должны изменить свое первоначальное заключение о средних по признакам прямо на противоположное!

Этот результат показывает, что операция среднего арифметического не адекватна шкале порядка. Тогда какая же операция усреднения адекватна шкале порядка? Определим в качестве операции усреднения числовую операцию вида

25

Назовем такое усреднение медианой, если из ряда N =2k +1 значений признака Х выбирается среднее, то есть k+\ значение х_k+1. Доказано, что вычисление медианы адекватно шкале

порядка. В нашем примере s(X₁) < s(X₂), так как 2<3, и s(Y₁) <

s(Y₂), так как 4<9.

Рассмотрим измерение признаков в интервальных шкалах. Пусть проведено N измерений температуры по шкале Цельсия в двух точках некоторого тела, то есть измерены признаки C₁ и C₂ (Рис. 1.13).

C₁ C₂ F₁ F₂

a₁ c₁₁ c₁₂ f₁₁ f₁₂

…

a_N c_N1 c_N2 f_N1 f_N2

Рис. 1.13. Измерение в интервальной шкале.

Вычислим среднее арифметическое по каждому из признаков и и пусть . Преобразуем наблюдения за температурой в шкале Цельсия к шкале Фаренгейта. Известно, что f= 1.8с+32. Так как температурная шкала является шкалой интервалов, то преобразование вида (x)=x+ соответствует типу этих шкал. Снова вычислим среднюю температуру по признакам в шкале Фаренгейта

и

Легко убедиться, что . Следовательно, взятие среднего арифметического адекватно шкале интервалов и позволяет сделать одни и те же выводы при сравнении средних. И вообще, среднее арифметическое является адекватным всем более мощным шкалам. Пусть , то есть . Тогда =1.8 +32=2(1.8+32)-32==2-32 и в шкале Фаренгейта . Поэтому операция отношения не адекватна интервальной шкале.

Рассмотренные примеры показывают результаты применения различных операций для измерений, произведенных в основных типах шкал. Часто такой анализ необходим при обработке информации, особенно, если она получена в менее сильных типах шкал.