6.
Формулы Эйлора
формула Эйлера
Пусть комплексное число
в
тригонометрической форме имеет вид
.
На основании формулы Эйлера выражение
в скобках можно заменить на показательное
выражение. В результате получим
Эта запись называется показательной
формой комплексного числа. Так же,
как и в тригонометрической форме, здесь
,
.
Пример 17.8 Комплексное число записано в показательной форме
Найдите его алгебраическую форму.
Решение. По формуле Эйлера
Итак, алгебраическая форма числа:
.
С помощью формулы Эйлера можно определить
показательную функцию комплексного
аргумента. Пусть
.
Тогда
Например,
Заменим в формуле Эйлера
на
.
Получим:
С учетом свойств тригонометрических функций имеем:
Сложив последнюю формулу с формулой Эйлера, получим:
Откуда
Аналогично, с помощью вычитания, можно
получить формулу
С помощью формулы для косинуса вычислим,
например,
:
Таким образом, в комплексной области
модуль косинуса может быть и больше 1.
Более того, в комплексной области функции
и
,
определяемые с помощью формул (17.11)
и (17.12),
являются неограниченными функциями.
Действительно, из этих формул мы получаем:
