Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Жорданова форма матрицы и жорданов базис / 2008-03-29-16-37-Victor- ЖОРДАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

307.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Н еобх од имость.

Е слиоператор

A имеетпростую

структуру, то

−1

TA.A

Т огд а

−1(

− λ −)T I. =

T I

Зн ач ит,

матрицы

- λi I

Ae - λi I

под обн ы иимею тод ин итот

ж е

ран г.

Ран г матрицы

Ae - λi I

рав ен

ч ислу д иагон альн ы х

э лемен тов,

отлич н ы х

от н уля,

или

ч ислу

корн ей

х арактеристич еского

урав н ен ия, н е

равн ы х λi , тоесть равен

n - ki .

Д остаточ н ость.

Пусть

λ1

λ2

...,, λν, –

попарн о различ н ы е

собствен н ы е

зн ач ен ия оператора

Собствен н ы е

векторы

с собствен н ы м зн ач ен ием λi

образую т под простран ство размерн ости n - ri

простран ств а E .

Т ак как по

условию

- i

= kni ,

то

оператор

имеет

лин ейн о

н езав исимы х

собствен н ы х

векторов

с собствен н ы м зн ач ен ием λi

(i = 1, 2, ...,ν ).

Т аким

образом,

мы имеем n собств ен н ы х векторов

...,, xn,. xПокажx

ем, ч то он и

лин ейн он езав исимы .

Пусть

åα j x j

=θ

j=1

(θ – н улевой

вектор)

и, н апример,

α1 ¹ 0.

Введем врассм отрениеоператор

- λ I )

I )...(

A I

- λ

−

- λ

ирассмотримоператор

1+1

- λ

-1λ3

-2λν I). A

I)...(

A(BI

A)(

И меем

ν =

= θ

=−λ λ α−λ λ α

1ν

1 1

)...(

B (

j =1

ν 2

j =1

= θ , α1 ¹ 0,

Т огд а

åα j x j

ч топротивореч итлин ейн ой н езависимости

j=1

λ1 .

собствен н ы х в екторов , соотв етствую щих собствен н омузн ач ен ию

О пиш емспособпостроениясобственныхвекторовоператора A.

К оорд ин аты

собствен н ы х векторов

н екотором базисе

мож н о н айти,

реш аясистемы уравн ен ий

(

- λA )x =I θ ,

λi (i =1, 2, ...,ν )

гд е

–

попарн о различ н ы е собствен н ы е зн ач ен ияоператора.

В н айд ен н ом базисе из собствен н ы х векторов оператор имеет д иагон альн ую матрицу. Пред лагаемы й н ов ы й способ построен ия базиса из собств ен н ы х

векторов

состоит в

н ах ож д ен ии под простран ства простран ства

E ,

целиком

состоящего из

собствен н ы х

векторов

оператора,

соотв етствую щего

собствен н ому зн ач ен ию

λi .

Э тотспособ д алее буд етпримен ен к построен ию

ж орд ан овабазиса. Рассмотримпод простран ство

(

− λAj )E I( j ¹ i),

размер-

н ость которого

− λ j )

= rAj .

E Idim(

Т ак как

оператор имеет

простую

структуру,

то

−

j = knj , r и в

под простран стве

(

− λAj

)E I

оператор н е имеет собствен н ы х

векторов,

отвеч аю щих собств ен н омузн ач ен ию

λ j . А н алогич н опод простран ство

− λ

− λ −

− λ +1

− λ1ν

iν E2)B...( EiI

имеет размерн ость

−

i−

−

i+1

−

...

−

и н е сод ерж ит

1 kν

...k

собствен н ы х векторов с собствен н ы ми зн ач ен иями

λi−1 λi+1

,,λν...,

а, зн ач ит,

он о состоитиз собствен н ы х векторов оператора A, отв еч аю щих собствен н ому

зн ач ен ию

λi . Д ействительн о, так как

− i = kni ,

rто в э томпод простран стве

мож н о вы брать базис только из

собствен н ы х

векторов,

отвеч аю щих λi и,

след овательн о, лю бой н ен улев ой в екторэ тогопод простран ств а– собствен н ы й.

	Т аким	образом,	с помощью	операторов			, ,B... B,			B
						1 2	νν		мож н о
		простран ство E						ν			ν
пред став ить				в	вид е	суммы	под простран ств
1	2	,, ... E,,	B размернE BостEи		которы х	равн ы	1	2		,k..., k
		νν ν	ν								ν

соответствен н о. К аж д ое из э тих под простран ств состоиттолькоиз собств ен н ы х

векторов оператора A,

отвеч аю щих

од н ому собствен н ому зн ач ен ию . В ы бирая

базис в

каж д ом под простран стве

Biν E ,

мы

получ или базис в о в сем

простран стве

E .

Поэ тому д ля оты скан ия всех

н езависимы х

собств ен н ы х

векторов

оператора

простой

структуры ,

отвеч аю щих

собствен н ому

зн ач ен ию

λi ,

д остаточ н о построить лю бой

базис простран ства

Biν E . Д ля

э того вы беремпроизв ольн ы й базис простран ства E ,

составлен н ы й из векторов

, g,..., g, коgорд ин аты которы х

отн осительн о

исх од н ого

базиса

, f,... fсо, ответственf

н орав н ы

), g t ...t,

121

2 n

) ,g t

...t,

… … … … … … … … .

) .g t

...t,

n n

Н айд ем

образы

векторов

, g,...g,

вg под простран ств е

E :

, ,

...g ,

iν

g B g

лин ейн о н езав исимы х

Сред и н их

всегд а н айд ется

ν nν

iν

Biν E .

Biν g j

векторов ,

которы е и примем за базис в

К аж д ы й

из в екторов

A )(i I kn k

, k

яв ляется

j -м

столбцом матрицы

Biν T , а матрица T

состоит из векторов

, g,..., g,постg ав лен н ы х

в столбцы . Т ак как матрица T –

произвольн ая

ч то T = I

или gi = fi . В

н евы рож д ен н ая матрица,

то мож н о сч итать,

э том

случ ае матрица

iν

= BB . T Э то

озн ач ает,

ч то

кач естве

базиса

iν

под простран ства

Biν E

мож н о вы брать лю бы е

ki лин ейн о н езав исимы х

A )...I(

столбцов матрицы

− λ

−

− λ

1i+1

1ν )T I

И з привед ен н ы х рассуж д ен ий след ует

Теорем а.

Д ля того ч тобы

оператор A

имел простую

структуру,

н еобх од имоид остаточ н о, ч тобы

iν E =B({θI }. ) A

E I )...( A (

− λ1

− λ2

− λν

− λi

)

Д ок аз ате ль ств о.

Н еобх од имость.

Под простран ств о Biν E состоиттолькоиз собств ен н ы х

векторов

оператора A, отвеч аю щих собствен н ому зн ач ен ию

λi ,

а поэ тому

оператор

A − λi I

ан н улируетэ топростран ств о, тоесть

( − λi

) iνAE =B{θI }.

Д остаточ н ость.

И з соотн ош ен ия

− λ

= {θ }

след ует,

ч то

Biν E

(

) iνAE

B I

λi .

состоит только из собствен н ы х

векторов оператора,

отвеч аю щих

Размерн ость э того под простран ств арав н агеометрич еской кратн ости ki

корн я

λi , так как операторы

A − λ j I

( j ¹ i),

в х од ящие

Biν E ,

н е

могут

измен ить кратн ости корн я λi . Строя базис в

каж д ом под простран стве

Biν E

)

, мы получ имбазисвсегопростран ств а.

1,2,...,

--6

ö8

- 12

При м ер.

Пусть матрица оператора имеет вид Ae

= ç

6 6÷.

− 53

- 6

Ae - λI

- λ

-86

- 12- -

Х арактеристич еское

уравн ен ие

=60

3 5 --λ

- 6

имеет корн и

λ1 = λ2 = −2,

λ3 = 1.

Рассмотрим кратн ы й

корен ь λ = −2.

--6ö6 - 12

атрица

I =

®12(

2имеет ран г

+ 2I =A -A

−3ø

r1 =1. Т ак как

1 =

−rk1 , тоn

k1 = 2 и, след ов ательн о, оператор

A – оператор

простой

структуры .

Рассмотрим

матрицы

e - λ1 =

e + 2I

Aи

- λ

- I .AПерваA Iя матрица имеет ран г 1,

векторы

−

)T3,,6 ,(9

−

ияв ляю тсясобствен н ы ми векторами

)=6 ,−–9,(лин12ейн о н езависимы

д ля λ1 = λ2 = -2.

В тораяимеетод ин лин ейн он езависимы й столбец, поэ тому

в кач естве собств ен н ого вектора д ля собствен н ого зн ач ен ия

λ = 1

возьмем

вектор x3

− =) 3.−,(6, 6

Н айд ем теперь н еобх од имы е

и д остаточ н ы е

условия,

при

вы полн ен ии

которы х оператор

A н е являетсяоператоромпростой структуры .

Теорем а. Ч тобы оператор

A н е имелпростой структуры , н еобх од имои

д остаточ н о,

ч тобы

существовали в ектор gi

и собствен н ы й

вектор

собствен н ы мзн ач ен ием λi ,

уд овлетворяю щие условию

(

- λ

)

= .

g I

Д ок аз ате ль ств о.

Н еобх од имость.

Пусть

(

)

iνAE B I

то

есть

образ

- λ

¹ {θ},

под простран ства

(

- λi ) iνAE

BсодI ерж ит

н ен улевы е

векторы .

Т огд а

под простран стве

= (

- λi

)

iν E

Bн айдILетсяA х отя бы од ин

собств ен н ы й

вектор ei

оператора A. О бозн ач имч ерез

вектор под простран ства Biν E ,

переш ед ш ий в

ei под

д ействиемоператора A - λi I . О ч евид н о, ч то

(

- λ

)

= eA.

g I

Д остаточ н ость.

Пусть (

- λ

)

= eA,

тогдg I а

(

- λ

)

g I B

i i

= λ - λ

λ - λ

¹ θ .

λ - λ

Поэ тому

)(

(

−

1 +1

1ν

)...(

(

- λ

i )

iνAE

¹ {θ }.

B I

2.2.

Вспом ог ател ьный базис специал ьног о вида

показали, ч то д ля того, ч тобы матрица Ae

n – го поряд ка бы ла

под обн а

д иагон альн ой

матрице,

н еобх од имо

д остаточ н о,

ч тобы

соответствую щий ей оператор A бы л операторомпростой структуры , то есть

ч тобы он

имел n лин ейн он езав исимы х собств ен н ы х векторов.

противн ом случ ае,

то есть

когд а ч исло

m лин ейн о н езав исимы х

собствен н ы х

векторов

оператора

A мен ьш е

ч ем n , в

лю бом базисе

ч исло

столбцов

матрицы

Ae ,

все

э лемен ты

которы х , кроме

д иагон альн ы х ,

равн ы

н улю ,

н е

больш е,

ч ем m .

Д ля того,

ч тобы

ч исло указан н ы х

столбцов

бы ло

н аибольш им,

то есть равн ялось m ,

н ад о, ч тобы

в се собствен н ы е в екторы

бы ли

вклю ч ен ы

базис. О д н ако, как

бы мы

н и вы бирали н ед остаю щие

n − m

базисн ы е векторы ,

соотв етств ую щие э тимвекторамстолбцы матрицы

буд ут

сод ерж ать более од н ого отлич н ого отн уляэ лемен та. Е стествен н осч итать, ч то

матрица, в которой m столбцов сод ерж ат лиш ь од ин (д иагон альн ы й) н ен улевой э лемен т, аостальн ы е n − m столбцов сод ерж атмин имальн ое ч исло

э лемен тов , отлич н ы х

от н уля,

является простейш ей

(после

д иагон альн ой)

матрицей, под обн ой матрице, н е имею щей простой структуры .

И так, пусть оператор A н е имеетпростой структуры ,

тоесть х отябы д ля

од н огох арактеристич ескогоч исла λi (i =1,2,...,ν )

ран гri матрицы

Ae − λi I

отлич ен

от n − ki ,

гд е

–

кратн ость

корн я

λi

rin

х арактеристич еского

мн огоч лен а ϕ

(

)

матрицы

Поэ тому

−

система

и, зн ач ит,

уравн ен ий

( e − Aλi )x =I θ

имеет только

−

< k

mrлин ейнn

о н езависимы х

реш ен ий

или,

д ругими

словами,

оператор

A имеет

< ki

лин ейн о н езав исимы х

собств ен н ы х

векторов сх арактеристич ескимч ислом λi .

Д ля построен ия базиса н ад о н айти д ля каж д ого λi такие н ед остаю щие

− =

− n

вектораr kk, которыm

е в месте со всеми

+ ... + m

m m

лин ейн о

н езависимы ми

векторами

оператора

образую т

лин ейн о

н езависимую

систему.

A − λI

E равен r . Э то

И так,

пусть ран г оператора

в простран стве

озн ач ает,

ч то оператор

A имеет

n − r

лин ейн о н езависимы х

собств ен н ы х

векторов

,...,e

соответствую щих собствен н омуч ислу λ .

n−r

L = ( A − λI )E .

Рассмотрим под простран ство

И з

теоремы

о ран ге

след ует, ч торазмерн ость его равн а r .

В ы беремв L

базис

2 ,...,gr g иg

пусть

...,,

fr,

– прообразы э тих векторов,

тоесть

f f

− λ

(

) i

giA (fi I1,2,...,r)

Л ем м а.

В екторы

,...,e

e ,

,..., f

fобразую т базис

n − r

простран ства E .

Д ок аз ате ль ств о.

К олич ество в екторов	1	,	2	,...,e e , e ,		2	,..., f		r	fравнf	о n . Покаж ем, ч то
	1		2	n − r	1	2			r
э тив екторы лин ейн он езависимы .
Пред полож импротив н ое: из того, ч товы полн ен оусловие
n−r		iei		r	fiα=θ ,
å		iei		+ å i	fiα=θ ,			β			(2.1)
i=1				i =1				αi , βi
след ует, ч то х отя бы од ин		из		коэ ф ф ициен тов				αi , βi			отлич ен от н уля.
Под ействуемоператором A − λI				н авекторн ое рав ен ств о(2.1), получ им

n−r			r
å		i i	)å
i	=1		i
i			i=1

fi (=i θ( −I илβи) Aå−λβei Ag+iλ=θI. α

i=1

Т ак как векторы

образую т базис в

L ,

то

βi

= 0

(i =1,2,...,r).

Зн ач ит,

n−r

åαiei =θ

их отябы од н о αi

i=1

отлич н оотн уля.

Н оэ топротивореч итлин ейн ой н езависи-

мостив екторов

,...,e

e . e

n−r

И так,

базис простран ства E мож н о построить из собствен н ы х

векторов

оператора

соответствую щих

ч ислу λ ,

и прообразов базисн ы х

векторов

под простран ства L = (A - λI )E .

имеется m

Пусть в

под простран стве

L = (A − λI )E

размерн ости

лин ейн о

н езав исимы х

собствен н ы х

векторов

2 ,...,em e операe тора

соответствую щих ч ислу λ . Д ополн имих векторами

,..., g

gд о базиса

под простран ства L иобозн ач имч ерез

r −m

ei ,

прообразы

собств ен н ы х векторов

ч ерез

1,...,r

−

–

прообразы векторов

,..., g

r −m

тоесть

( − λ )

= eiA (fi =I1,2,...,m) ;

( − λ ) i = giA

(hi I=1,...,r - m) .

Теорем а.

ож н о построить

базис простран ств а

из

векторов

−

,...,e

−r

.,e ,e

h ,...,

h ,

f , f

, f ,...,

2 1

m r1

2.3.

Ж орданов базис в частном

сл учае

Рассмотрим ч астн ы й

случ ай,

когд а оператор

имеет ед ин ствен н ое

собствен н ое зн ач ен ие λ и н е имеетпростой структуры . В

э томслуч ае матрица

Ae − λI имеетран г r ¹ 0 ,

азн ач ит,

в простран стве E имеется n − r лин ейн о

н езависимы х

собствен н ы х векторов

оператора A, соответствую щих

ч ислу λ .

Рассмотримпод простран ство

(

− λ

)ELI

dim L1

Зн ач ит, в

И меем

L1 н айд ется х отя бы

од ин

собствен н ы й

вектор

оператора

Поэ тому

размерн ость под простран ств а

LLI

− λ )=E= I( ( − A )

буд етмен ьш е размерн остипод простран ства L1 .

= (

− λ )L LI

операторA

Э то оч евид н о, так как в под простран ств ах

A - λI

λ ,

−1

всегд а имеет собствен н ое

зн ач ен ие

которому соответствую т

собствен н ы е

в екторы ,

поэ тому

под

д ействием оператора

A - λI

э ти

собствен н ы е

векторы

обн уляю тся

и,

след овательн о,

размерн ости

под простран ств

умен ьш аю тсясувелич ен ием i .

Е сли

– н ен улевое под простран ство, то в н емн айд етсях отябы од ин

собствен н ы й вектор оператора A.

э томслуч ае построимпод простран ство

− λ

Aего

размерн ость

мен ьш е

)=E .=I(О(ч−евAид)н о,LLчIто

размерн ости

L2 .

Прод олж ая э тот процесс

д алее,

мы

получ им н ен улев ое

под простран ство

L , такое,

ч то

k+1

)k+1 E =λ( ({Iθ }. Э)Aто−

λL=I = A

озн ач ает,

ч то под простран ств о

сод ерж ит только собств ен н ы е

векторы

оператора A, азн ач ит, оператор

A в

имеетпростую структуру.

В ы беремв

базис. Э тотбазис мы мож емд ополн ить д обазисав

Lk −1 ,

затем базис

Lk −1

мож ем д ополн ить д о базиса в

Lk − 2

и т.д .

итоге

получ имбазисвсегопростран ства E .

Перейд емк егопостроен ию .

Пусть

p1 = dim Lk ,

векторы

2 ,...,ep

eобразую т базис

простран ства

Lk , апод простран ство Lk −1 сод ерж ит

( p2 ³ p1)

лин ейн о

н езависимы х

собствен н ы х

в екторов

оператора

Т огд а

векторы

,...,

,,...,

,...,e

, гд е

1 2

(

− λ

)

− λ

= θ ,

eiA f I (

A )ei I

образую т базис

Lk −1

dim k

−1

А н алогич н о

векторы

1 L p2

1 2

,...,

,...,h

,...,

e,,f

e,,...f ,

,...,

p 1p1

+1 p 1 p1

f p

+1,

+2 ,...,ep e, p

e p

гд е

( − λ )

= gA,

h I( − λ )

= e A,

g (I − λA )e I= θ

( p3

( p3 ³ p2 )

–

ч исло лин ейн о н езависимы х

собствен н ы х векторов

оператора A,

сод ерж ащих сяв под простран ств е Lk − 2 ) образую тбазис в

Lk − 2 ,

размерн ость которого равн а

+ p .

Продp

олж аярассуж д ен ия,

получ им

базиспростран ств а E . Э тотбазисн азы ваетсяжордановым базисом .

2.3.1. Ж орданова цепочка векторов

Рассмотрим векторы e

i =

p )

из

L,...,. (О н2,и1являю тся образами

векторов

i =

p1)

под простран,..., ( 2, 1ства Lk −1 ,

которы е в

свою

оч еред ь

яв ляю тся образами векторов

i =

p ) из L,..., (и2,т1.д .

Сов окупн ость

k −2

векторов

e ,

f , gii

iпри ф иксирован н ом i

н азовем жордановой цепочкой

векторов д лин ы

k +1. Т акимобразом, мы

получ или p1 ж орд ан овы х цепоч ек,

каж д аяиз которы х состоит из

k +1 векторов. Рассмотримтеперь в екторы ei

p )

из ,...pL, i(

,2p каж,д1ому

из

э тих

векторов

такж е

1 k −1

соответствуетцепоч каиз k в екторов

,...,hi ,

,e=gii

f i+

p2 ). 1

,...p1, i( 2p

М ы , таким образом, получ или д ополн ительн о

p2 - p1

ж орд ан овы х

цепоч ек

д лин ы k .

p3 − p2

Рассуж д аяан алогич н ы мобразом,

получ имд алее

ж орд ан овы х

цепоч ек д лин ы k −1,

p4 - p3

цепоч ек д лин ы

k − 2

и т.д .

Н акон ец,

получ им pk +1 - pk

цепоч ек д лин ы

то есть цепоч ек,

состоящих из од н ого

собствен н ого в ектора оператора A. Зд есь

pν

–

ч исло лин ейн о н езав исимы х

собствен н ы х

векторов оператора

A, сод ерж ащих ся в

простран ств е

Lk +1−ν ,

размерн ость которогоравн а

...

pν

,..., (

2, 1

ν =

+ .

Т акимобразом, общее ч ислож орд ан ов ы х цепоч ек равн о

)

kk +1

( (

r... n )

то есть ч ислу лин ейн о н езависимы х

собствен н ы х

векторов оператора A,

и их

суммарн аяд лин арав н а

+ ... +

k +1 = n,

1 )p2 k

+ -

тоесть размерн остипростран ств а E .

О тметим еще

раз

соотн ош ен ия меж д у в екторами од н ой

ж орд ан овой

цепоч ки:

(

- λA )e1 I=θ

( − λ ) 2 = e1A e I

( - λ ) 3 = e2A e I

… … … … ..

или

( - λ ) k +1 = ek A e I

1 = λe1

= λ

+2e1

= λ

+3e2

… … … … ..

+1 = λ +1 +kek .

Е сли

векторы

цепоч ки

,e , e ,...вeклю, e ч ить в

базис,

то э той

k +1

цепоч ке в матрице буд етсоотв етствовать клеткаиз

строч ек и

столбцов

( s – д лин аж орд ан овой цепоч ки) вид а

0 ... 0

...

÷ ...

ç λ

... 1

0 ...

...

÷ . ...

1 ÷

0 ... 0

0 0λ...÷0

...

÷ ...

...

0 ... 0

Поэ тому в

построен н ом ж орд ан ов ом базисе

матрица оператора буд ет

иметь в ид

æ Jn

0 M

0 ö

L ×

L ÷

ç L ×

= ç

0 M J

0 ÷

= ç

L ÷

L ×

L ÷

0 M

Jnm ø è

Jnm ø

æλ

01 ...

0 ...

00÷

гд е

= ç

...

–...

...

...0

0 λ...ø0 0

матрица, н азы ваемаяж орд ан овой клеткой поряд ка n j ,

m –

ч ислож орд ан овы х

цепоч ек, а

1 +

2 + ... +

m = n .

М атрица Af

н азы ваетсяжордановой м атрицей.

2.3.2. П остроениежордановой м атрицы

Структура ж орд ан овой матрицы в

рассматриваемом случ ае опред елен а,

если известн ы поряд ки

n j

( j =1,2,...,m) ж орд ан овы х

клеток.

В озн икает

след ую щий вопрос: мож н о ли н айти э ти поряд ки, н е н ах од я пред в арительн о ж орд ан ов базис? О тв ет н а э тот в опрос утверд ительн ы й. Д лин ы ж орд ан овы х цепоч ек связан ы сразмерн остямипростран ств

= ( − λ )EL,I

=A( - λ )2 E ,L…I ,

A = ( - λ )k E ,LI

( A

I )

( A

I )

k .

а зн ач ит,

с ран гами матриц

, …

Н айд ем

− λ

- λ

яв н ы е ф ормулы д ляопред елен ияд лин ж орд ан овы х цепоч ек.

Пусть

(

- λI )ν , Aqrs

– rangколич ество цепоч ек д лин ы

s .

показали ран ее, ч то имеется

цепоч ка максимальн ой

д лин ы

k +1,

гд е

p1 = dim Lk ,

то есть

p1 = rk

qk +1 = rk . Ж орд ан овы х

цепоч ек д лин ы

буд ет

−

qp1

dim Lk −1

то есть

k −1

−

rkp

гд е

Зн ач ит,

−1

−

2rk

− p

Т ак как ч исло ж орд ан овы х цепоч ек д лин ы

равн о

1− s+

kk + − s

+ ... +

+ r

и,

r p

pслед овательн о,

−

k 2

−ν +

2 −ν +

k 2 s

p− r

, тоr

− − −

− 2 + r

,)r (гд е r(

) r

ν −1

+ν −

s+1

−s1

s −1

s−1

s = 1,2,...,k −1;

r0 = n ,

r1 = r ,

rk +1 = rk + 2 =

= 0. ...

Т аким образом,

мы

опред елили колич еств о всех

ж орд ан овы х

клеток

размеров

s × s и темсамы мколич ество всех клеток, состав ляю щих ж орд ан ову

клетку J .

qs .

Ж орд ан ова матрица

опред елен а,

если известн ы

велич ин ы

Н о

−1

−

rs +1 rs qs

(

- λ

)

rν

rang

и так как

ν =

н е

зависит от

вы бран н огобазиса, тои qs

н е зав иситотвы бран н огобазиса.

Т акимобразом,

ж орд ан ова ф орма матрицы

ед ин ствен н а с точ н остью

д о

поряд кав располож ен ииж орд ан овы х клеток.

−

− 3

При м ер.

Д ан аматрицаоператора Ae = ç

- 3

÷ .

Н айтиж орд ан овуф ормуматрицы

Ae .

Ре ш е н ие.

Характеристич еское урав н ен ие

	- λ		-	- 3	62		5
	- λ		-	- 3	62		5
A λI \|=	(ϕ-)λ \|	-	- λ-	3	3	3	1
A λI \|=	(ϕ-)λ \|				= λ (-	)42
e			λ	- 3-	-	2	1
			λ	- 3-	-	2	1
	-			5 - λ	5 1	1

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>