Жорданова форма матрицы и жорданов базис / 2008-03-29-16-37-Victor- ЖОРДАН

ф -та ПМ М и н а каф ед ре алгебры и топологич еских

метод ов ан ализа ма-

тематич ескогоф акультетаВ орон еж скогогосуд арств ен н огоун иверситета.

Рекомен д уетсяд лястуд ен тов 1-гокурсаф акультетаПМ

М иматематич еского

ф акультета.

Рассмотрим лин ейн ы й оператор

A в

простран стве E

E = n)

и

(dim

пусть A – матрицаэ тогооператорав н екоторомбазисе {e }n

.

e

Ae − λI

= ϕ λ)

i i=1

О пред елен ие 1.

(н азы вается)

характеристическимdet(

м ног очл еном матрицы

Ae

( I – ед ин ич н аяматрицапоряд каn ).

О пред елен ие 2.

В ектор

x ¹ 0

н азы вается собств ен н ы м вектором

оператора A,

если

Ax = λx ,

а

λ –

собствен н ы мзн ач ен иемоператора A,

соответствую щимсобствен н омувектору x .

1.1. А л г оритм

нахождениясобственног о значенияисобственног о

вектораоператора

1) Н айд ем все корн и х арактеристич еского мн огоч лен а

ϕ λ =

Ae − λI ) ,

det(

получ им

λ

λ

2

, λ,... –, спектр оператора (мн ож еств о всех

собств ен н ы х

зн ач ен ий);

1

k

2) под ставим λ = λ1

в систему

− λ

x(

=

)

e

,

A

I 0

реш им ее

и н айд ем все

собствен н ы е в екторы ,

отвеч аю щие

собствен н ому

зн ач ен ию

λ1, затемпод ставим λ2

ит.д .

1.2. А л г ебраическая

и г еом етрическая

кратности собственног о

значения

О пред елен ие 3.

К ратн ость корн я λi

в

х арактеристич еском мн огоч лен е

ϕ(λ) н азы ваетсяал г ебраической кратностью

собственног о значения λi .

О пред елен ие 4.

Г еом етрической кратностью

ki собствен н огозн ач ен ия

λi н азы в аетсяразмерн ость собств ен н огопод простран стваоператора A

λi

= { : ( =)λi x}.

L Ax x

У тверждение.

=

−

i

(

− λi I ) ,

eгд еA n

rang– порядk окn матрицы

оператора A.

A в

, e..., e,имеетe

Теорем а.

О ператор

базисе

1

2

д иагон альн ую

Ae

n

ei

матрицу

в

том и только том случ ае,

когд а базисн ы е

векторы

(i =1, 2, ..., n)

–

собствен н ы е, тоесть

αi = ki

д ляв сех

i .

4

æ

λ

0

ö ...1

0

ç

i

÷

ç

λi

0

÷0 ...

1

ç

λi

0

÷

0

0

ç

÷. ...

(1.1)

ç

1

÷ ...

...

...

...

ç

0 ...0

λ

÷

è

0

i ø

Теорем а.

Д ляпроизвольн огооператора A: Cn → Cn существуетбазис

простран ства Cn ,

в которомматрицаоператораимеетклеточ н о-д иагон альн ы й

вид , прич емн аглав н ой д иагон алистоятж орд ан овы клеткивид а (1.1).

Э тот

базис

н азы вается

жордановым ,

а

д ан н ы й

кан он ич еский

вид

матрицы н азы ваетсяжордановой форм ой.

Замеч ан ие. Ж орд ан ова ф орма опред еляется од н озн ач н о с точ н остью

д о

поряд каклеток (каж д ой клетке с λi

соответствуетод ин собствен н ы й вектор).

А л г оритм

нахождения жорданова базиса дл я одной

жордановой

кл етки

Рассмотрим ж орд ан ову клетку вид а (1.1).

По опред елен ию

матрицы

оператора в

1-м столбце

стоит вектор

Af1 ,

разлож ен н ы й

по базису

1

2 ...,, fk,: f

f

= λ

+

×

+

0

+

10

×

f

f

Af

21

,

поэ тому

i

fk...

- λA f

(=I 0 .

)

1

i

Af2 ,

В о 2-мстолбце матрицы

н ах од итсявектор

разлож ен н ы й поэ тому

ж е базисуит.д .

f1

e

Т акимобразом,

собствен н ы й вектор

н ах од имкак реш ен ие системы

Ai (x I 0

,

)

вектор

f2

–

как

реш ен ие

системы

- λ

=

присоед ин ен н ы й

( e - λi ) = Af1. О xч евI ид н о, ч то

λ

2

2

λ f

=I 0

. -

e

A) -A f (= (I

)

i

1e

i

Прод олж ая

ан алогич н ы е

рассуж д ен ия,

д ля

вектора

fk

получ им

e

- λ Ak f

k

=(I0.

)

i

О пред елен ие

6.

В ектор

fk

н азы в ается присоединенным

вектором

высоты k .

Ж орд ан ов

базис состоит из

собств ен н ы х

и

присоед ин ен н ы х

к

н им

векторов .

5

У тверждение.

А лгебраич еская кратн ость

собствен н ого зн ач ен ия λi

равн асумме размеров ж орд ан овы х клеток сэ тимсобствен н ы мзн ач ен ием.

У тверждение.

Геометрич еская кратн ость

ki

собствен н ого зн ач ен ия λi

равн а ч ислу клеток в

ж орд ан овой ф орме с собствен н ы м зн ач ен ием λi или

ч ислу

лин ейн о н езав исимы х

собствен н ы х

в екторов ,

соответствую щих

собствен н омузн ач ен ию

λi .

1.4.

А л г оритм

нахождения жордановой форм ы и жордановабазиса

дл ям атрицы3-г о порядка

Пусть

д ан а матрица 3-го поряд ка. Н ад о н айти ж орд ан ову ф орму и

ж орд ан ов базис.

Ae имеетв ид

1.

Пусть х арактеристич еский мн огоч лен матрицы

3

- λ ) ,λгд-еλλ)(λ¹ -λ λ (=iλ)(¹-j).

ϕ( )1λ (( )

31

2 i

j

æλ

0

0

ö

Af =

ç

1

λ2

0

÷

Т огд аж орд ан оваф ормаматрицы имеетвид

ç

0

÷ .

ç

0

0

λ

÷

è

3 ø

2.

Пусть х арактеристич еский мн огоч лен матрицы

Ae имеетв ид

3

1

2

- λ

,λ - λ =λ-

(

ϕ λ

)

2 )

(

)

)1 ((

гд е λi ¹ λ j

(i ¹ j). В озмож н ы д васлуч ая:

а)

e - λ(1I

=1, A)

поэrangтому

1 =

-

e - λ1I

= 2k A)3и,

rang(

след овательн о,

α1 = k1 ,

поэ тому ж орд ан ов аф ормасод ерж итд в е ж орд ан овы

æ

λ

0

0

ö

клеткиссобств ен н ы мзн ач ен ием λ1:

Af

ç

1

λ1

0

÷

= ç

0

÷;

ç

0

0

λ

÷

e

(1I

=

2

A)

rang

è

1

=

−

2

ø

e

1I

=

1k A)3

rang(

б)

,

− λ

поэ тому

− λ

и,

след овательн о,

ж орд ан ова ф орма

сод ерж ит

од н у

ж орд ан ову

клетку с

æ

λ

1

0

ö

собствен н ы мзн ач ен ием λ1 :

Af

ç

1

λ1

0

÷

= ç

0

÷.

ç

0

0

λ

÷

è

2

ø

A имеетвид

3.

Пусть х арактеристич еский мн огоч лен матрицы

а)

e

(1I

=

1

A)

rang

1

= -

e

1I

=

2k A)3

rang(

- λ

, поэ тому

- λ

и,

след ова-

В ы ч ислим

Р е ш е н ие.

- λ

1

0

=4 -4λ)3 ,

A

λ=I ) =

-

-ϕ -λdet(λ

(0 )

(2

e

2 - λ

-

1

след овательн о, собствен н ое зн ач ен ие λ = 2, α = 3.

Н айд емгеометрич ескую

кратн ость собствен н огозн ач ен ия λ .

Д ляэ того

посч итаемран гматрицы

æ- 2

1

0

ö

A - 2I =

ç

-

40

÷ ®2 (- 2 1 0).

e

ç

÷

ç

- 2

1

0

÷

è

ø

След овательн о,

=

-

e -

I = kA-

= 2rang, 1

3

3)

2

(

поэ томуж орд ан оваф ормаимеетвид

æ

02ö

1

æ

20

ö

0

ç

÷

2

Af =

ç

0

2

1

÷

Af = ç

0÷

или

ç

÷ .

ç

÷

0

ç

02

÷

0

è

02ø

x ,

è

ø

Н айд ем

собствен н ы й вектор

соответствую щий

собствен н ому

зн ач ен ию

λ = 2. Т ак как он уд овлетв оряетусловию

−

=θ ,

тореш имсистему

e (A )x 2I

æ - 2

1

0

ö

ç

- 4 2 0

÷

(- 2 1 0).

ç

÷ ®

ç

- 2 1 0

÷

è

ø

=

x31x) x2 ,(x ,

След овательн о,

коорд ин аты

собств ен н ого

в ектора

уд овлетв оряю туравн ен ию

-

+ + × x32=x10. x2

0

Заметим,

ч то коэффициент

при

x3

равен

0,

поэтом у

x3

м ожет

приним ать л ю быезначения.

О тбрас ы вать

x3

н е ль зя !!!

Д лян ах ож д ен ияФ СР построимтаблицу

x31

x2

01

. 2

e =

) ,0, e2,(1=

10

0

В екторы

)1,образую0,(0

тф ун д амен тальн ую

систему

1

2

= {

=

2x

L: Ax )(2x

реш ен ий

в собств ен н ом под простран стве

},

поэ тому

8

лю бой

собствен н ы й

вектор,

отв еч аю щий

собствен н ому

зн ач ен ию

λ = 2,

лин ейн о

ч ерез

н их

вы раж ается

и,

след ов ательн о,

имеет вид

fc = αe1 + β e2 = α

+ β

= α

α β ) .

,Т а2,к ка(к )1,k =0, 20(, α =) 0,3,2,(т1о

д олж ен

бы ть од ин

присоед ин ен н ы й в ектор,

которы й буд етявлятьсяреш ен ием

системы

−

)

=

.

Под беремкоэ ф ф ициен ты α и

β такимобразом,

e

(

2 fA

x I

−

c

=

ч тобы система

)

бы ласов местн а. Т ак как

e

(

2 fA

x I

c

α1ö

æ -

02

æ - 2

1

0

α ö

ç

α

÷

Ae

-

2I

=

ç

-

40

®

ç

÷

,

ç

÷

2 2÷

- 2

1

0

ç

-

02

β1

÷

è

β ø

è

ø

то д ля

сов местн ости

системы

н еобх од имо,

ч тобы

вы полн ялось

услов ие

α = β .

В озьмем

α = β =

1

,

тогд а

fc

=

, и

коорд ин аты

)1, 2,(1

присоед ин ен н оговектораявляю тсяреш ен иемсистемы

æ -

2

1

0

1ö

® (-

),

ç

-

÷

ç

4

2

0

2

÷

1 02 1

ç

-

2

1

0

1

÷

è

ø

тоесть уд овлетворяю турав н ен ию

fпр =

− 2x1 + x2 = 1

или

x2 = 2x1 +1.

В озьмем

).0, 1,(0

Т акимобразом, у н ас есть собств ен н ы й вектор

fc ,

присоед ин ен н ы й к

н ему fпр

и н уж ен

еще од ин

собствен н ы й

вектор,

отвеч аю щий собствен н ому

зн ач ен ию

λ = 2.

М

ож н о взять или вектор e1, или

e2 ,

или лю бой

д ругой,

отлич н ы й от fc , отвеч аю щий собствен н омузн ач ен ию λ = 2. Э титривектораи

буд утобразов ы вать ж орд ан ов базис.

При м ер 2. Н айти ж орд ан ову

ф орму

и ж орд ан ов базис матрицы

оператора

-15

ö 2

6

æ

Ae

=

ç

-

5

÷ .

1

ç

÷1

ç

- 6

÷

2

è

ø1

В ы ч ислим

Р е ш е н ие.

- λ

20

1

λ=

=

- -ϕ λ- λ

λ + =3-,

Ae I )

det(

( 0)

4

1( )1

-

62- λ

- 1

след овательн о, собствен н ое зн ач ен ие λ = −1,

α = 3.