Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

Жорданова форма матрицы и жорданов базис / 2008-03-29-16-37-Victor- ЖОРДАН

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

307.24 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Н айд ем собствен н ы й

вектор

f1 ,

соответствую щий

собствен н ому

зн ач ен ию

λ1 = 1.

О ч евид н о,

ч то он

является

реш ен ием уравн ен ия

( e −A)x =I θ

и, след овательн о, егокоорд ин аты уд ов летворяю тсистеме

1 6æ

- 4 -2ö

-3 æ

- 4 2ö

- 42

ö 3

6 4

®5

0 4

®2

÷ ®

4 4

0 2

- 3è

- 2ø0 1

− 4ö4 0æ

−1ö1 0

® ç

÷ ® ç

÷ ,

- 2 0

)1, 2,(1

тоесть ì x1 = x3 , поэ томумож емвзять

îx2 = 2x3

f2 ,

В ы ч ислим собствен н ы й

в ектор

соответств ую щий

собствен н ому

зн ач ен ию

λ2 = 2.

О ч евид н о,

ч то

он

уд овлетворяет урав н ен ию

e −(A

)x 2=I θ ,

аегокоорд ин аты – системе

- 4

3 2

6 4

®6 ç

÷ ,

4 3

= x2

поэ томумож емвзять

) 0, 1,(1

откуд аслед ует, ч то ìx1

î x3 = 0

f3 ,

Н айд ем собствен н ы й

вектор

соответствую щий

собствен н ому

зн ач ен ию

. Т ак как он

являетсяреш ен иемурав н ен ия

(A )x3I

−

= θ , то

егокоорд ин аты уд ов летворяю тсистеме

и, след овательн о,

В екторы

- -2ö

-3 æ

22 -3 22 ö

22 ö

6 4

®7

- 2 0® 2ç

÷ ®

4 2

- 2

3è

-1ø0

ø0 2

-1ö2

0æ

÷ ,

® ç

÷ ® ç1

-1ø0 1è

ø0 1

= 2 x3 , поэ томумож емв зять

f3 =

) .2, 2,(1

íx1

x2 = x3

, ff

оf бразую тж орд ан ов базисматрицы .

			12
	При м ер 4. Н айти ж орд ан ову ф орму				и	ж орд ан ов

оператора			-	76		12
æ					ö
ç				10	÷	19
		Ae = ç	-		÷.
ç			-		÷	24
è				13ø

Р е ш е н ие.

В ы ч ислим

базис матрицы

- λ

7 6

λ=I ) =

-ϕ -λdet( - λ(

)

192

λ + )1.10(-( =)1-

13 - λ

Т аким образом,

получ или д ва собствен н ы х

зн ач ен ия

λ1 =1, λ2 = −1.

Т ак

как

алгебраич еская

кратн ость

λ1 = 1

равн а 2,

н уж н о

вы ч ислить

геометрич ескую

кратн ость

собствен н ого зн ач ен ия

λ1 = 1.

Д ля э того

посч итаемран гматрицы

A - I = ç

® 20(

- 1 1)0. 2

О ч евид н о,

ч то

rang A− I ( =1,

)

поэ тому

k1 =

−

= 23 1и,

след овательн о, ж орд ан оваф ормаимеетслед ую щий вид

. 1

-1ø0 0

Н айд ем собствен н ы е векторы

f1 ,

f2 ,

соответствую щие собствен н ому

зн ач ен ию

λ1 = 1.

О ч евид н о,

ч то

он и

являю тся реш ен ием

уравн ен ия

( e

−

A)x I

1 2

x3)x ,( ,

=θ , аих коорд ин аты

– реш ен иемсистемы

® (

1 10 2

и, след овательн о, уд овлетворяю туравн ен ию

− .

−

или

1 3

Д лян ах ож д ен ияФ СР построимтаблицу

x13

В екторы

)10, ,(e22

= −

)1,(0, 1

систему

образую т ф ун д амен тальн ую

реш ен ий в собствен н омпод простран стве

= {

)1(x

LAx

= }, поэ томулю бой

собствен н ы й

вектор,

отвеч аю щий

собствен н ому зн ач ен ию

λ = 1,

лин ейн о

ч ерез н их вы раж аетсяи, след овательн о, имеетв ид

fc = αe1 + β e2 = α

+ β −

α − β α β ) . ,

2( )1, 0, 1 (

Т ак как k = 2, тон уж н о вы брать лю бы е д валин ейн он езависимы х вектораиз

э той лин ейн ой комбин ации. В озьмем f1 = e1,

f2 = e2 .

Н айд ем собствен н ы й

вектор

f3 ,

соответствую щий

собствен н ому

зн ач ен ию

λ2 = −1.

О ч евид н о, ч то

он

уд овлетворяет

уравн ен ию

( e +A)x =I θ , аегокоорд ин аты

2 x3 )x– ,(систем, е

86 ö

123 5æ

- 4-3ö

-6 æ

- 4 3ö 6

10-

5 5

®9

0 5

®6

10÷ ® 18 4

242

12-

0 5

43 ö 6

- 2ö4 0

2 ÷,

® ç

÷ ® ç

- 5ø0

è6 6 - 5ø

ìïx1 = 12 x3

тоесть í

ïîx2 = 56 x3

В екторы

, поэ томумож емвзять f3 =		6) . , 5,(3
, ff	оf бразую тж орд ан ов базисматрицы .
31	2

1.5. Ф ункцииот м атриц

N 1162. В ы ч ислить

100

, если

= ç

÷ .

- 3

Р е ш е н ие.

Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы

(

)

− λ

λ -

,λ -λ = λ+

- = -

(

- 3

5 - λ

) 2

)( 3

( 6 )

поэ томуж орд ан оваф ормаматрицы

и, след овательн о,

= ç

100	æ	3100	0	ö
100	ç		100	÷
Af	= ç	0	100	÷ .
	è	0	2	ø

Заметим, ч то

−

fe →ef

−

→

...

−1

= S

S A×

=×

→ e f

→

→e

−1

100

A .

(1.2)

→

→e

Т аким образом,

н ам н уж н о н айти матрицу перех од а от исх од н ого базиса к

ж орд ан ову. Д ляэ тогон айд емж орд ан ов базис.

− 3

При

λ = 3

получ им

(- 3

и,

A - 3I = ç

÷ ®

- 3

след овательн о,

f1 =

)3;; (2

при

λ = 2

получ им

æ − 2

- ),

поэ тому

= ç

÷ ® (

)1;(1

- 3

1ö

−1

→

= ç

÷ = S

→e

1ø

S f →e

О сталось н айтиматрицу

ивоспользоватьсяф ормулой

(1.2).

N 1163. В ы ч ислить

A50 ,

если

A = ç

÷ .

-1 3ø

Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы

(

)

1- λ

λ -λ

2=,

λ+ - = -

-1

3 - λ

) 2

(

1 )

3 )(

поэ тому

λ = 2,

α =

кратн ость собствен н огозн ач ен ия λ = 2:

Н айд емгеометрич ескую

-1

1ö

)1(

(1.3)

= ç

-1

÷ ® -

1ø

след овательн о,

−

= ç

÷.

	k	æ	2k	k × 2k −1 ö
Д окаж ем, ч то	Af	ç			k	÷	,
Д окаж ем, ч то	Af	= ç	0	2	k	÷	,
		è	0	2		ø

математич еской ин д укции.

О ч евид н о, ч топри n = 1 Af

Пусть э то утверж д ен ие

æ	2	1	ö
= ç			÷ .
ç	0	2	÷
è	0	2	ø

истин н о д ля

	æ	n	×		n−1 ö
n	ç 2		n	2		÷
Af	= ç	0		2	n	÷ .
	è	0		2		ø

Д окаж емегод ля k = n +1. Д ейств ительн о,

пользуясь метод ом

k = n, то есть

n × 2

n−1 ö

n+1

n +

n ö

(

n+1

22)1

×ç

÷ =

A A

0 2

n+1

Т акимобразом,

2× 2

ö50

25ö

×ç

÷ ,

поэ тому

−

50S

AA1 .

→

→e

Н айд емж орд ан ов базис. И з (1.3) след ует, ч то

)1,(1

Н айд ем

из уравн ен ия

−

( ) 2 f1A x I

ч то

1) ,(0

и,

откуд а след ует,

след овательн о,

T →

æ1

→e

= ç

÷ =

−1

è1

Под став ляя

A50

→e

и S −1

в ф ормулу(1.4), получ им A50 .

→e

	У тверждение1.	Е слиматрица Ae
		Е слиматрица Ae
				æ	λ
				ç	1
		=	−1	ç
		=	e→e ç f
				ç
				ç	0
и д ля ф ун кции f (λ)				è	0
и д ля ф ун кции f (λ)		матрица		f ( Ae )
д иагон альн ой матрице, прич ем

под обн ад иагон альн ой
0	ö
λ2	÷
	÷	A S
O	÷S f →e
	÷

	÷
λn ø
существует, то и f ( Ae )		под обн а

	æ f		λ1	0	ö	( )
	ç		f (λ2 )		÷
( ) = S −1f	çA		f (λ2 )		÷S	f →e
e →e ç		f		O	÷	f →e
	ç			O	÷
	ç		0	f λ	÷	(
	ç		0	f λ	)÷	(
стой ж е матрицей S f →e .	è			n	ø
стой ж е матрицей S f →e .

N 1166.

В ы ч ислить

− 2

eA , гд е A = ç

÷.

- 3

Р е ш е н ие.

Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы

4 − λ

− 2

λ -λ ), λ1= λ(- λ =

( )

A λI

ϕ6-λ

- 3 - λ

след овательн о,

λ = 0, λ

= 1, поэ тому

= ç

÷,

æ1 0ö

−1

−1 çe

S → ç

÷S

÷T → f

→e

→ f

e f

è0

Н айд емсобствен н ы е векторы оператора A.

Т ак как

− 2

-= ç×

÷ ®

- 3

то коорд ин аты

собств ен н ого вектора,

отвеч аю щего собствен н ому зн ач ен ию

λ1 = 0,

уд овлетворяю тсоотн ош ен ию

x2 = 2x1, поэ тому

А н алогич н о

) 2,(1

− 2

) 2

3x1

2x2

поэ тому

= ç

÷ ®

откуд а

) 3,(2

æ − 3

Т акимобразом,

Te→ f

и, след овательн о,

Te→ f

2 ö

= ç

−1

= ç

÷ .

Поэ тому

è 2

-1ø

öæ− 3 2

1 2eöæ − 3 2

− + e

− 2eö23 4

1 2öæ1 0

ö æ

eA = ç

÷ç

÷ = ç

÷ç

÷ = ç

÷.

2 3

÷ç

0 e

÷ç

- 3e

+ 6

øè

-1ø è

2 3eøè 2

-1ø è

ø-46

У тверждение 2.

Зн ач ен ие мн огоч лен а

f (x)

от клетки Ж орд ан а

поряд

ка n сч ислом α н аглав н ой д иагон али

æα

... 1

A =

÷0 ...

...

...÷ ...

...

ø0

опред еляетсяф ормулой

	æ		) '(
	ç	f (α)
	ç	f (α)	1!
	ç		1!
f (A) =	ç		0f α) (
f (A) =	ç		0f α) (
	ç
	ç
	ç
	è
У тверждение3.		Е слиматрица A

) '('

) (''

n(− ) 1

ααf

(α) ö

...

n -( )! 1÷

) '(

) (''

n −(

) 2

fα

(α) ÷

...

÷ .

n -( )! 2

...

÷ ...

α)

...

(ø

клеточ н о-д иагон альн ая

	17
æ	A	0	ö
ç	1		÷
ç	A2		÷
A = ç		O	÷
ç		O	÷
ç	0	A	÷
ç	0	A	÷
è		s ø

иф ун кция

f (λ)

опред елен ан аспектре матрицы

то

æ f

( )

f (A2 )

f ( A) =

÷.

(

A )÷

У тверждение 4.

Е сли матрица

под обн а клеточ н о-д иагон альн ой

матрице Af

−1

S AA

SA =

→

→e

fef e

çf

f (λ)

иф ун кция

опред елен ан аспектре матрицы

, то

= −1

)S (A f

(

S) f

→

→e

f e

стой ж е матрицей

S f →e .

N 1164. В ы ч ислить

A ,

гд е

A = ç

÷.

è-1 5

Р е ш е н ие.

Н айд емх арактеристич еский мн огоч лен матрицы A:

( )

A λI

3 - λ

λ -λ

ϕ -λ

- λ

-1

след овательн о,

λ = 4,

α = 2 .

Н айд ем

геометрич ескую

собствен н огозн ач ен ия λ = 4:

-1

1ö

= ç

÷ ®

-1

1ø

След овательн о,

k = 2 −1 = 1

= ç

÷ .

2=, λ)+4 -( =1 -) 5 )

кратн ость

	æ			1			ö
	æ		λ	1			ö
	ç							÷

И з утверж д ен ия2 след ует, ч то Af					2 λ					λ = 4,
И з утверж д ен ия2 след ует, ч то Af	= ç				2 λ		÷		. Т ак как	λ = 4,
	ç						÷
	ç	0				λ	÷
	è	0				λ	ø

то

= ±

= ±ç

и, след овательн о,

1ö

−1

T → f e S eA

= ±

→

÷T →→f

8ø

Н айд емж орд ан ов базисматрицы оператора A.

Т ак как

æ−1 1ö

A - 4I = ç

÷ ® - )1, ( 1

è-1 1ø

то коорд ин аты собств ен н ого вектора,

отвеч аю щего собствен н ому зн ач ен ию

λ = 4, уд овлетворяю тсоотн ош ен ию

x1 = x2 ,

поэ тому

f1 =

)1,. (1

−

(

) 4

f1A x I

Н айд ем присоед ин ен н ы й

вектор

из уравн ен ия

откуд аслед ует, ч то

1) ,(0

и, след овательн о,

T →

æ1

−1

S f →e

= ç

÷ =

= ç

e f

÷ =

→e

f Te→ f

è1

è-1

Т акимобразом,

æ1 0

öæ8 1öæ

1 0ö

æ 7 1ö

A = ±

÷ç

÷ = ±

÷.

÷ç

-1 1

è1 1

øè

0 8øè

-1 9ø

§ 2. Ж ордановаформ ам атрицы

2.1.О ператорпростой структуры

В д ан н омпараграф е пред лагаетсяспособ н ах ож д ен ияж орд ан ов ой ф ормы

матрицы , осн ован н ы й		н а изуч ен ии геометрич еских х арактеристик лин ейн ого
оператора.
	Д ад имряд опред елен ий.
	О пред елен ие 1.	Л ин ейн ы й оператор A в		простран стве E	(dim E = n)
н азы вается оператором			простой структуры,	если он имеет	n лин ейн о
н езависимы х собствен н ы х в екторов .
	Теорем а. О ператор		A простой структуры од н озн ач н оопред елен , если

зад ан ы его n лин ейн он езависимы х собствен н ы х векторов исоответств ую щие имсобствен н ы е зн ач ен ия.

Д ок аз ате л ь ств о.

В ы берем в кач естве

базиса в простран стве

собствен н ы е

векторы

1 2 ...,, en, eопераe тора A.

Т огд аполуч им

= λ

… … … .

= λ e

обозн ач имч ерез Ae )

Э то озн ач ает, ч то матрица оператора(которую

мы

имеетв ид

ö ...

λ2 0

÷ ...

Ae = ç

...

÷ .

...

...0

След овательн о, оператор A од н озн ач н оопред елен , аегоматрицаотн осительн о
базиса из собствен н ы х векторов яв ляется д иагон альн ой. О тметим,	ч то сред и
ч исел λ1 λ2 ...,,λn, могут бы ть од ин аковы е. О бозн ач имч ерез Af	матрицу

оператора A

в базисе из векторов

...,, f ,. f Т огдf

−1

TA,A

гд е T – матрицаперех од аотбазиса

2 ...,, en, eк базисуe

...,,

fn,. f f

Т аким образом,

матрица оператора

простой

структуры

под обн а

д иагон альн ой матрице. О ч евид н о, ч тосправед ливоиобратн ое

У тверждение.

Л ю бая матрица,

под обн ая

д иагон альн ой,

является

матрицей н екоторогооператорапростой структуры .

Поэ тому,

если оператор

A имеет в

н екотором базисе

...,, fn,

f f

матрицу

Af ,

то в базисе

из

собствен н ы х

векторов

он

имеет матрицу

= −1

PA,Aгд еP P –

матрицаперех од аотбазиса

...,,

f ,

fк базисуиf з

1 2

...,, en, e

собствен н ы х в екторов

Замеч ан ие. Л егкопоказать, ч то P = T −1.

О пред елен ие. К аноническим базисом

простран стве

н азы вается

) 0 i,...,

10,n,)0

,.,..,.(,

0,1(0

совокупн ость векторов

æ		03	ö	6
ç		11	÷
При м ер. Пусть A = ç		11	÷ . 3
ç	-	21	÷	2
è	-	21	ø	2

	С обственныевекторым атрицы A e1 =						T	T
	С обственныевекторым атрицы A e1 =						) 0, 1,e(21=	) 2, 2,(1
e3 =	T
e3 =	)1,1,а(1соответствую щ иеим собственныезначения λ1 = 1, λ2 = 2,
	λ3 = 3. М атрицаоператора A вбазисеизсобственныхвекторов
	1 2 ...,, en, eимeеет вид
	æ	1	0	0	ö
	ç	0	2	0	÷
	Ae = ç	0	2	0	÷.
	ç	0	0	3	÷
	è	0	0	3	ø
М	атрицаперех од аоткан он ич еского базисапростран ств а R3							к базису из
собствен н ы х в екторов имеетвид				1ö		1
	æ			1ö		1
	ç			÷		2
	T = ç			1÷.		2
	ç			÷		2
	è			01ø		2

Привед емод ин д остаточ н ы й призн ак операторапростой структуры .

Теорем а.	Е сли в се		корн и х арактеристич еского мн огоч лен а матрицы
оператораразлич н ы , тооператоримеетпростую				структуру.
			Д ок аз ате ль ств о
след ует из того, ч то в		э томслуч ае оператор A имеет n попарн о различ н ы х
собствен н ы х ч исел и, след ов ательн о, n лин ейн он езав исимы х в екторов.
Д ейств ие	оператора		простой структуры	мож н о описать след ую щим
образом. В простран стве			E имеется n таких “н аправлен ий”,		ч то каж д ы й из n
лин ейн о н езависимы х		векторов, имею щих од н о из э тих			“н аправлен ий”,

преобразуется операторомв

вектор, ему коллин еарн ы й. Произвольн ы й вектор

x преобразуетсяпоф ормуле

= λ

+ λ

+ +

...

(

e x

2 2 2

1 1 1n n

Н айд ем теперь

н еобх од имы е

и д остаточ н ы е услов ия,

при которы х

операторимеетпростую

структуру.

Теорем а.

Д ля того ч тобы

оператор

имел простую

структуру,

н еобх од имо и д остаточ н о,

ч тобы

д ля каж д ого корн я х арактеристич еского

уравн ен ия

Ae - λI

= 0

кратн ости ki ран г

матрицы

Ae − λi I

бы л

равен n − ki .

Д ок аз ате ль ств о.

e)x 2 2 1e

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>