2. Вариация коэффициентов цф

Пусть R(c) – задача ЛП, ограничения совпадают с ограничениями задачи P , ЦФ имеет вид f (c;x) = c · x.

Определение: Множество всех векторов c таких, что является решением задачи R(c), назовем областью постоянства оптимального решения (ОПОР).

Графически для прямой задачи – решение остается неизменным при изменении коэффициентов ЦФ, когда изменяется ее градиент (происходит поворот целевой функции вокруг оптимальной точки).

Определение: Пусть β – произвольный базис матрицы A⁰, . Для любого положим .

Утверждение: Вектор принадлежит ОПОР, если и только если существует оптимальный в задаче R(c) базис β матрицы A⁰, для которого .

Определение: Множество – это множество всех базисов β матрицы A⁰ таких, что .

Для каждого положим .

Следствие (общее описание ОПОР): .

Зафиксируем .

Зная базисную матрицу , найдем матрицу .

эквивалентно (**).

После приведения задачи R(c) (или P) к базису условия (**) для базисной части полностью выполнены. Достаточно рассмотреть эти условия для небазисной компоненты

Пусть вектор , где . Тогда условие (**) запишется следующим образом:

Эту систему чаще всего рассматривают для найденного оптимального базиса , описывая таким образом .

Утверждение: Если – невырожденное решение задачи P,

то .

Обозначим для разрешимой задачи R(c) через – оптимальное значение ЦФ. Кроме того, для всякого базиса β матрицы A⁰ и любого вектора положим .

Свойства векторов ОПОР:

• Если , то является решением задачи R(c);

• Если , то ;

• Если , то есть вектор двойственных оценок для задачи R(c).

Прогноз максимального значения ЦФ

Пусть , где .

Вычислим матрицу и для всех j.

Если неравенства

выполняются, то и вектор оптимален в обеих задачах P и R(c), поэтому .

Если неравенства не выполняются, то исследователю проще решить новую задачу.

Прогноз двойственных оценок

Двойственные оценки отражают относительную полезность ингредиентов.

Утверждение: Если и , то вектор является решением задачи R^*(c). В частности, при решением задачи является вектор .

Частный случай: вариация одного коэффициента ЦФ

Пусть изменяется только одна компонента вектора (с номером k):

и .

Тогда неравенства перепишутся следующим образом

.

Рассмотрим 2 случая.

1) . Тогда для всех базисных компонент.

Для и неравенство принимает вид и оно всегда выполняется, так как все неотрицательны.

При получаем или .

Следовательно, .

2) . Пусть . Тогда и для всех . Поэтому неравенства перепишутся в виде

.

Это система линейных неравенств относительно одной переменной .

Если , то соответствующее неравенство выполняется при любом . Если , то, разделив неравенства на него, получим нижнюю неположительную границу для .

Если , то аналогичным образом получим верхнюю неотрицательную границу.

Вектор двойственных оценок вычислим следующим образом

,

где – элементы матрицы