Тема 1.2. Анализ устойчивости решения
Рассматривается задача P в канонической форме с m уравнениями (ограничениями), n переменными, m ≤ n:
f0(x) = c0 · x → max при A0x = b0, x ≥ 0.
Строки матрицы A0 линейно независимы,
– базисное оптимальное решение,
– оптимальный базис,
– базисная матрица.
– двойственные оценки ограничений задачи.
Рассматриваются случаи:
Изменение правых частей ограничений;
Изменение коэффициентов целевой функции;
Изменение набора технологических способов.
1. Изменение правых частей ограничений.
Заменим вектор b0 в задаче P на вектор . Получаем задачу Q(b).
Решение устойчиво, когда базис решения не меняется
двойственные оценки остаются постоянными
вектор остается решением задачи Q*(b).
Определение: Множество всех векторов b таких, что задача Q(b) разрешима и , назовем областью постоянства двойственных оценок (ОПДО) задачи Q(b).
Графически для двойственной задачи – решение остается постоянным при изменении вектора b, когда изменяется градиент целевой функции двойственной задачи (происходит поворот целевой функции вокруг оптимальной точки).
Оптимальная точка может иметь несколько альтернативных базисов.
Определение: Множество – это множество всех базисов β матрицы A0 таких, что (здесь – базисная матрица для базиса β). Для положим . Векторы соответствуют тем задачам Q(b), в которых базис β допустим.
Утверждение: .
Следствие 1: .
Следствие 2: Пусть . Тогда
.
Определение: Для любого базиса β матрицы A0 и произвольного вектора определим как вектор такой, что и . Вектор есть базисное решение системы уравнений , порожденное базисом β.
Следствие 3: Если и , то вектор является решением задачи Q(b). При вектор , где и , является решением задачи Q(b).
Обычно описание ОПДО ограничивается описанием для оптимального базиса задачи P.
Теорема: Если – невырожденное решение задачи P и в этой задаче нет альтернативного решения, то .
Доказательство:
Пусть – невырожденное и единственное решение задачи P. Предположим, что . Тогда существует .
Приведем задачи P и Q(b) к базису .
Так как , то базис недопустим в задаче Q(b). Следовательно, среди элементов вектора есть хотя бы один неотрицательный.
В обоих задачах элементы γj в z-строке вычисляются через элементы матрицы A0, вектора c0 и вектора , значение которого не зависит от правых частей ограничений, поэтому они равны для обоих задач P и Q(b) и все неотрицательны, так как базис оптимален в задаче P.
Зафиксируем r, для которого . Уравнение с этим номером
Задача Q*(b) имеет решение , тогда задача Q(b) разрешима, ее решение неотрицательно. Тогда, поскольку x ≥ 0, а правая часть уравнения , то существует такой, что (иначе левая часть будет неотрицательна).
Далее хотим выполнить жорданово исключение с этим разрешающим элементом . Нужно выбрать номер s так, чтобы элементы преобразованной z-строки были неотрицательны . Тогда
Если , то неравенство выполнено. Пусть , тогда, разделив неравенство, получим
Следовательно, чтобы неравенство выполнялось для всех j, для которых , нужен максимум отношения
Так как , то – оптимум в задаче, а значение ЦФ в задачах Q*(b) и Q(b) равно .
Выбрав этот элемент и проведя жорданово исключение, приведем задачу к новому базису .
Пусть .
Из неотрицательности следует допустимость вектора в Q*(b).
После преобразования задачи к новому базису получим значение ЦФ в новой точке:
,
где вектор – оптимален, а вектор – допустим в задаче Q*(b).
Строгое неравенство невозможно, поэтому
.
Так как вычитаемое неотрицательно, оно равно нулю только при (так как и по выбору). Но отсюда у P есть альтернативное решение, что противоречит предположению единственности.
Тогда .
Данный метод называется двойственным симплекс-методом.
Теорема (общее описание ОПДО): .
Свойства векторов ОПДО:
Если , то есть вектор двойственных оценок для задачи Q(b);
Если , то , где ;
Если , то вектор оптимален в задаче Q(b).
Прогноз максимального значения ЦФ
Как повлияет изменение правых частей ограничений на значение целевой функции.
Пусть , . Нужно проверить неравенства
(*)
Если они выполняются, то и максимум ЦФ изменится на .
Обратная задача: при каких значениях вектора оптимальное значение ЦФ в задаче Q(b) не меньше, чем заданное число f0:
Корректировка оптимального решения
Пусть решение уже найдено и планируется или ожидается изменение вектора на вектор .
Если , то оптимум – и .
Частный случай: вариация правой части одного ограничения
Пусть изменяется правая часть только одного ограничения (с номером k):
и .
Найдем интересующие нас значения в .
Условие (*) в развернутой форме имеет вид
Подставив значения , получим систему линейных неравенств относительно одной переменной δ:
Множество решений этой совместной системы обозначим Dk. Тогда искомый диапазон изменения bk – это .
Вектор по построению. Поэтому , а решение задачи Q(b) определяется соотношением для и для .
Целесообразные изменения правых частей ограничений
Отношение называется нормой замены ингредиента l ингредиентом k.
Изменение правых частей происходит в ОПДО.
Рассматриваем систему с производством не менее bk ≥ 0 продукта k, потреблением не более bl ≥ 0 ресурса l.
Ограничения
Пусть и – двойственные оценки ограничений, не равные нулю.
Увеличение обязательств по производству на δk = δ ведет к ущербу .
Увеличение количества имеющихся ресурсов на ведет к выгоде
.
На какие дополнительные обязательства можно согласиться, если ущерб покрывается выгодой?
Каковы пределы замены, чтобы оставаться в ОПДО?
Пусть и .
Вектор ; .
Система (*) запишется так:
Множество всех решений – это диапазон , для которых справедливы рассуждения о целесообразности замены.
Очевидно, что , поэтому в могут содержаться и отрицательные значения для – ситуация «обратная» замена.