Тема 1.2. Анализ устойчивости решения

Рассматривается задача P в канонической форме с m уравнениями (ограничениями), n переменными, m ≤ n:

f₀(x) = c⁰ · x → max при A⁰x = b⁰, x ≥ 0.

Строки матрицы A⁰ линейно независимы,

– базисное оптимальное решение,

– оптимальный базис,

– базисная матрица.

– двойственные оценки ограничений задачи.

Рассматриваются случаи:

1. Изменение правых частей ограничений;

2. Изменение коэффициентов целевой функции;

3. Изменение набора технологических способов.

1. Изменение правых частей ограничений.

Заменим вектор b⁰ в задаче P на вектор . Получаем задачу Q(b).

Решение устойчиво, когда базис решения не меняется

двойственные оценки остаются постоянными

вектор остается решением задачи Q^*(b).

Определение: Множество всех векторов b таких, что задача Q(b) разрешима и , назовем областью постоянства двойственных оценок (ОПДО) задачи Q(b).

Графически для двойственной задачи – решение остается постоянным при изменении вектора b, когда изменяется градиент целевой функции двойственной задачи (происходит поворот целевой функции вокруг оптимальной точки).

Оптимальная точка может иметь несколько альтернативных базисов.

Определение: Множество – это множество всех базисов β матрицы A⁰ таких, что (здесь – базисная матрица для базиса β). Для положим . Векторы соответствуют тем задачам Q(b), в которых базис β допустим.

Утверждение: .

Следствие 1: .

Следствие 2: Пусть . Тогда

.

Определение: Для любого базиса β матрицы A⁰ и произвольного вектора определим как вектор такой, что и . Вектор есть базисное решение системы уравнений , порожденное базисом β.

Следствие 3: Если и , то вектор является решением задачи Q(b). При вектор , где и , является решением задачи Q(b).

Обычно описание ОПДО ограничивается описанием для оптимального базиса задачи P.

Теорема: Если – невырожденное решение задачи P и в этой задаче нет альтернативного решения, то .

Доказательство:

Пусть – невырожденное и единственное решение задачи P. Предположим, что . Тогда существует .

Приведем задачи P и Q(b) к базису .

Так как , то базис недопустим в задаче Q(b). Следовательно, среди элементов вектора есть хотя бы один неотрицательный.

В обоих задачах элементы γ_j в z-строке вычисляются через элементы матрицы A⁰, вектора c⁰ и вектора , значение которого не зависит от правых частей ограничений, поэтому они равны для обоих задач P и Q(b) и все неотрицательны, так как базис оптимален в задаче P.

Зафиксируем r, для которого . Уравнение с этим номером

Задача Q^*(b) имеет решение , тогда задача Q(b) разрешима, ее решение неотрицательно. Тогда, поскольку x ≥ 0, а правая часть уравнения , то существует такой, что (иначе левая часть будет неотрицательна).

Далее хотим выполнить жорданово исключение с этим разрешающим элементом . Нужно выбрать номер s так, чтобы элементы преобразованной z-строки были неотрицательны . Тогда

Если , то неравенство выполнено. Пусть , тогда, разделив неравенство, получим

Следовательно, чтобы неравенство выполнялось для всех j, для которых , нужен максимум отношения

Так как , то – оптимум в задаче, а значение ЦФ в задачах Q^*(b) и Q(b) равно .

Выбрав этот элемент и проведя жорданово исключение, приведем задачу к новому базису .

Пусть .

Из неотрицательности следует допустимость вектора в Q^*(b).

После преобразования задачи к новому базису получим значение ЦФ в новой точке:

,

где вектор – оптимален, а вектор – допустим в задаче Q^*(b).

Строгое неравенство невозможно, поэтому

.

Так как вычитаемое неотрицательно, оно равно нулю только при (так как и по выбору). Но отсюда у P есть альтернативное решение, что противоречит предположению единственности.

Тогда .

Данный метод называется двойственным симплекс-методом.

Теорема (общее описание ОПДО): .

Свойства векторов ОПДО:

• Если , то есть вектор двойственных оценок для задачи Q(b);

• Если , то , где ;

• Если , то вектор оптимален в задаче Q(b).

Прогноз максимального значения ЦФ

Как повлияет изменение правых частей ограничений на значение целевой функции.

Пусть , . Нужно проверить неравенства

(*)

Если они выполняются, то и максимум ЦФ изменится на .

Обратная задача: при каких значениях вектора оптимальное значение ЦФ в задаче Q(b) не меньше, чем заданное число f⁰:

Корректировка оптимального решения

Пусть решение уже найдено и планируется или ожидается изменение вектора на вектор .

Если , то оптимум – и .

Частный случай: вариация правой части одного ограничения

Пусть изменяется правая часть только одного ограничения (с номером k):

и .

Найдем интересующие нас значения в .

Условие (*) в развернутой форме имеет вид

Подставив значения , получим систему линейных неравенств относительно одной переменной δ:

Множество решений этой совместной системы обозначим D_k. Тогда искомый диапазон изменения b_k – это .

Вектор по построению. Поэтому , а решение задачи Q(b) определяется соотношением для и для .

Целесообразные изменения правых частей ограничений

Отношение называется нормой замены ингредиента l ингредиентом k.

Изменение правых частей происходит в ОПДО.

Рассматриваем систему с производством не менее b_k ≥ 0 продукта k, потреблением не более b_l ≥ 0 ресурса l.

Ограничения

Пусть и – двойственные оценки ограничений, не равные нулю.

Увеличение обязательств по производству на δ_k = δ ведет к ущербу .

Увеличение количества имеющихся ресурсов на ведет к выгоде

.

На какие дополнительные обязательства можно согласиться, если ущерб покрывается выгодой?

Каковы пределы замены, чтобы оставаться в ОПДО?

Пусть и .

Вектор ; .

Система (*) запишется так:

Множество всех решений – это диапазон , для которых справедливы рассуждения о целесообразности замены.

Очевидно, что , поэтому в могут содержаться и отрицательные значения для – ситуация «обратная» замена.