2.2. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим тот основной случай равновесия жидкости, когда из числа массовых сил на жидкость действует лишь сила тяжести, и получим для этого случая уравнение, позволяющее находить величину гидростатического давления в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Свободная поверхность жидкости в этом случае, как известно, является горизонтальной плоскостью.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис. 6) и на ее свободную поверхность действует давление р₀. Найдем величину гидростатического давления р в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h.

У точки М, как центра, возьмем элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет являться внешним давлением и будет направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Запишем сумму всех сил, действующих на рассматриваемый объем в вертикальном направлении. Будем иметь

(2.6)

где последний член представляет собой вес жидкости в указанном объеме. Силы давления на боковой поверхности цилиндра в уравнение не войдут, тaк как они нормальны к этой поверхности. Сократив на dS и перегруппировав члены, получим

(2.7)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики; оно позволяет подсчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления на внешней поверхности жидкости рn и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Величина р0 является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая второе свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля).

Давление жидкости растет с увеличением глубины по закону прямой и на данной глубине есть величина постоянная.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. В данном случае поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, а свободная поверхность является одной из поверхностей уровня.

Рис. 2.2. Основное уравнение гидростатики

Возьмем на произвольной высоте горизонтальную плоскость сравнения, от которой вертикально вверх будем отсчитывать координаты z. Обозначив через z координату точки М, через z₀  координату свободной поверхности жидкости и заменив в уравнении (2.7) h на z₀-z, получим

(2.8)

Но так как точка М нами взята произвольно, то, можно утверждать, что для всего рассматриваемого неподвижного объема жидкости

(2.9)

Координата z называется нивелирной высотой. Величина h имеет также линейную размерность и называется пьезометрической высотой. Сумма z+p/ называется гидростатическим напором.

Таким образом, гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости.

Те же результаты можно более строго получить интегрированием дифференциальных уравнений равновесия жидкости.