3.1.2. Логические следствия

Пусть − конечное множество формул и − формула. Формула называется логическим следствием формул множества , если истинна на всякой интерпретации, на которой истинны одновременно все формулы . В этом случае используют запись

╞ . (1)

Формулы называются гипотезами или посылками, или допущениями. Формулу называют еще заключением.

В частности, если , то пишут ╞ .

Ясно, что тавтология (тождественно истинная формула) есть логическое следствие всякого множества формул, в том числе, пустого. Поэтому для тавтологии используют обозначение

╞ . (2)

Запись вида (1) назовем правилом вывода или, следуя [1] клаузой. Будем говорить, что клауза верна, если формула действительно логическое следствие формул и неверна, если логическое следствие места не имеет. Знак ╞ (знак клаузы) читается как «следовательно», «значит», «поэтому» и т.п.

Если вместо аргументов формул , подставить конкретные высказывания, клауза наполнится конкретным содержанием, которое мы будем называть легендой.

Примеры решения задач.

1. Докажем справедливость логического следствия

╞ .

Доказательство. Пусть , что и требовалось.

Пусть теперь «этот человек умен», «этого человека невозможно подкупить лестью». Тогда «умного человека невозможно подкупить лестью», а легенда такова.

Этот человек умен. Умного человека невозможно подкупить лестью. Значит, этого человека невозможно подкупить лестью.

2. Верно ли логическое следствие ╞ ?

Решение. Составим таблицу истинности

0	0	0	1	1	1	0	(1	1)	1
0	0	1	1	1	0	0	1	0	1
0	1	0	1	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	1	1	0	(1	1)	1
1	0	1	0	1	0	0	(1	1)	1
1	1	0	0	0	1	1	(1	1)	0
1	1	1	0	0	0	1	(1	1)	0

Формулы слева от знака клаузы одновременно равны 1 на пяти наборах значений аргументов. На двух из этих пяти интерпретаций формула слева от знака клаузы равна 0 (нули отмечены символом «←»). Следовательно, формула не есть логическое следствие формул , клауза не верна.