2.7. Погрешность разности

Рассмотрим разность двух приближенных чисел и=х₁-х₂. По формуле (2.14) предельная абсолютная погрешность _и разности

,

т.е. предельная погрешность разности равна сумме предельных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Отсюда предельная относительная погрешность разности

, (2.16)

где А – точное значение абсолютной величины разности чисел х₁ и х_2.

Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

и=х₁ х_2… х_п.

Ln u=lnx₁+ lnx₂+…+ lnx_n.

Отсюда, используя приближенную формулу  ln x  d ln x =  x_n/x, находим:

.

Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим:

и ,

.

2.10. Погрешность частного

Теорема. Относительная погрешность частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя.

Если и = х/у, то ln u = ln x – ln y и и/и = х/х - у/у.

Отсюда .

_и =_х+_у

2.11. Число верных знаков частного

Пусть делимое х и делитель у имеют по меньшей мере т верных цифр. Если  и  - их первые значащие цифры, то за предельную относительную погрешность частного и может быть принята величина:

.

Отсюда получаем правило: 1) если 2 и 2, то частное и имеет по меньшей мере т-1 верных знаков; 2) если  =1 или =1, то частное и заведомо имеет т-2 верных знака.

2.12. Относительная погрешность степени

Пусть и = х^т (т – натуральное число), тогда ln и = т ln х и, следовательно,

.

Отсюда

_и = т_х . (2.19)

т.е. предельная относительная погрешность т-й степени числа в т раз больше предельной относительной погрешности самого числа.

2.13. Относительная погрешность корня

Пусть теперь , тогда и^т = х. Отсюда

, (2.20)

т.е. предельная относительная погрешность корня т-й степени в т раз меньше предельной относительной погрешности подкоренного числа.

1. Функции одной переменной. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y=f(x), вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента _х, оценивается величиной:

. (2.27)

Если значения функции f(x) положительны, то для относительной погрешности имеет место оценка

. (2.28)

В частности, для основных элементарных функций получаем следующие правила.

а) Степенная функция y=x^a. Абсолютная погрешность степенной функции равна:

. (2.29)

Относительная погрешность степенной функции равна:

. (2.30)

Например, относительная погрешность квадрата x² вдвое больше относительной погрешности основания х, относительная погрешность вдвое меньше относительной погрешности подкоренного числа х, относительная погрешность обратной величины 1/х равна относительной погрешности самого числа х.

б) Показательная функция y=а^х (a>0). Абсолютная погрешность показательной функции равна:

. (2.31)

Относительная погрешность показательной функции равна:

. (2.32)

Заметим, что здесь относительная погрешность функции пропорциональна абсолютной погрешности аргумента.

Для функции y=е^х отсюда получаем:

. (2.33)

в) Логарифмическая функция y=ln x. Абсолютная погрешность натурального логарифма числа равна относительной погрешности самого числа:

. (2.34)

Для десятичного логарифма y=lg x имеем:

, (2.35)

откуда следует, что при расчетах с числами, имеющими т верных знаков, надо пользоваться (т+1)-значными таблицами логарифмов.

г) Тригонометрические функции. Абсолютные погрешности синуса и косинуса не превосходят абсолютных погрешностей аргумента:

, . (2.36)

Абсолютные погрешности тангенса и котангенса всегда больше абсолютных погрешностей аргумента:

, . (2.37)

2. Функции нескольких переменных. Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y=f(x₁,x_2,…, x_n), вызываемая достаточно малыми погрешностями аргументов x₁,x_2,…, x_n оценивается величиной

. (2.38)

Если значения функции положительны, то для относительной погрешности имееи место оценка:

. (2.39)