1.3.2. Операции над матрицами

1.3.2.1. Равенство матриц. Две матрицы и называются равными (что обозначается А=В), если их размеры совпадают и соответствующие их элементы равны, т. е. при всех i и j

= .

Из определения равенства очевидно, что если A=B то В = А. Если же A = B и В = С, то А=С.

1.3.2.2. Сложение матриц. Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица (что обозначается С = А+В) тех же размеров, элементы которой определяются равенствами

= + .

Например,

.

Из определения операции сложения вытекают следующие свойства:

;

.

1.3.2.3. Умножение матрицы на число. Произведением мат­рицы на число а называется матрица (что обозначается или ), элементы которой определяются равенствами

.

Таким образом,

.

Из этого определения вытекают очевидные следствия:

;

;

.

где и — два произвольных числа, а A и B — две мат­рицы одного размера.

Из свойств сложения матриц и умножения матрицы на число следует, что:

а) сумма матрицы A и нулевой матрицы тех же раз­меров равна матрице А, т. е.

;

б) для матрицы A существует, единственная матрица -А = (-1)А такая, что А + (- A) = 0;

в) существует однозначная операция, обратная сложе­нию (которая называется вычитанием), т. е. для любых матриц А и В одинаковых размеров, существует единст­венная матрица С тех же размеров такая, что

.

Матрица С обозначается

.

и называется разностью матриц А и В. Причем , где

.

1.3.2.4. Умножение матриц. Умножение матрицы на матрицу определяется только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк мат­рицы B.

Если A имеет размеры (т x p), а B — размеры (р x n), то произведением матрицы А на матрицу В на­зывается матрица (что обозначается C = AB) размеров (т x п), элементы которой с_ij определяются равенствами

(i=1,2…m; j=1, 2…n).

Таким образом, элемент матрицы С = AB, располо­женный в i-й строке и j-м столбце ее, равен сумме про­изведений элементов i-и строки матрицы А на соответст­вующие элементы j-го столбца матрицы В.

Если окажется, что АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными, в противном случае (если ) они называются неперестановочными.

Отметим основные свойства произведения матриц (счи­тая, конечно, что все написанные произведения имеют смысл):

а) A0 = 0A = 0;

б) АЕ = ЕА = А;

в) (А+В)С = АС+ ВС;

г) A(В+С) = AB+AС;

д) (АВ)С = А(ВС);

е) если А и В — квадратные матрицы одного порядка, то det(AB) = detA detB.

1.3.2.5. Транспонированная матрица. Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столб­цами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы А, называется транспониро­ванной по отношению к матрице А и обозначается А'. Согласно определению, если , то

, где

1.3.2.6. Обратная матрица. Если А — квадратная матрица, то матрица В такая, что

АВ = ВА = Е

называется обратной относительно А и обозначается. A^-1. Таким образом по определению AA^-1 = A^-1A = E.

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была не­вырожденной (т. е. ).

Чтобы найти обратную матрицу надо построить вспомогательную матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов a_ij матрицы A, транспонировать ее и умножить на число .

1.3.2.7. Степени квадратной матрицы. Всякую квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т. е. найти матрицу АА

Эта матрица называется квадратом матрацы А и обозна­чается A². Аналогично A²А называется кубом матрицы А и обозначается A³. Наконец, A^n-1 А называется n-й степенью матрицы А и обозначается Aⁿ

Нулевой степенью матрицы A называется единичная матрица Е, т. е. А° = Е. Целая отрицательная степень матрицы A (что обозначается А^-n, п>0 определяется соотношением

;

отсюда следует

,

где A^-1 —матрица обратная для матрицы A.

Степени матрицы обладают следующими очевидными свойствами:

а) ;

б)