Глава 2. Дополнительные уравнения интегральной математической модели пожара для расчета расходов уходящих газов и поступающего через проемы воздуха

2.1. Исходные положения

При пожаре происходит газообмен помещения с окружающей средой через проемы различного назначения (окна, двери, технологические отверстия и т.д.) [7].

Побудителем движения газа через проемы является перепад давлений, т.е. разность между давлением внутри помещения и давлением в окружающей атмосфере. Перепад давлений обусловлен тем, что при пожаре плотность газовой среды внутри помещения существенно отличается от плотности наружного воздуха. Кроме того, необходимо учитывать влияние ветра на величину этого перепада. Дело в том, что наружное давление на наветренной стороне здания выше, чем наружное давление на подветренной стороне.

Рассмотрим условия, когда ветер отсутствует.

2.2. Распределение давлений по высоте помещения

Чтобы определить перепады давлений в проеме, прежде всего необ­ходимо установить законы распределения давлений по вертикали (по вы­соте)снаружи и внутри помещения. Будем использовать в математических выкладках обозначения, которые указаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Схема помещения:

Oу - координатная ось с началом отсчета на поверхности пола; 2h-высота помещения, м;

y-координата, отсчитываемая от плоскости пола, м; dy-расстояние между двумя параллельными близко расположенными горизонтальными плоскостями, м; у_и - координата нижнего края проема, м; у_в - координата верхнего края проема, м; r_m - среднеобъемная плотность среды внутри помещения, кг•м^-3; р_а - наружное давление в окружающей атмосфере на высоте, равной половине высоты помещения, Нп•м^-2; р_т - среднеобъемное давление, Нп•м^-2

Отметим, что во всех точках снаружи помещения, т.е. в области 0 < у < 2h, плотность наружного воздуха практически одинакова и равна r_а. Изменение давления с высотой в наружном воздухе описывается дифференциальным уравнением гидростатики, которое при указанном усло-вии имеет следующий вид:

, (2.1)

где g - ускорение свободного падения, м•с^-2; р_нар - абсолютное давление во внешней атмосфере, Н•м². Обозначим давление снаружи на высоте, равной половине высоты помещения (т.е. при у = h), символом р_а.

Для того чтобы установить закон распределения давлений снаружи помещения, проинтегрируем дифференциальное уравнение (2.1).При этом правую часть этого уравнения проинтегрируем в пределах от у = h до те-

кущего значения координаты у, а левую часть соответственно в пределах от р_а до р_нар В результате интегрирования получим следующее уравнение:

, (2.2)

Из уравнения (2.2) следует

, (2.3)

Уравнение (2.3) является аналитическим выражением закона распределения наружных давлений вдоль вертикальной оси Оу. Этот закон формулируется так: "Наружные давления распределяются вдоль вертикальной оси Оу по линейному закону".

Из уравнения (2.3) следует, что наружное давление на уровне пола (т.е. при у - 0) составляет величину, равную

, (2.4)

а наружное давление на уровне потолка составляет величину, равную

, (2.5)

Закон распределения давлений по вертикали внутри помещения устанавливается аналогичным образом. При этом делается одно допущение. Суть его в том, что плотность газовой среды в помещении во всех точках, т.е. в области Q<y<2h, принимается одинаковой и равной среднеобъемному значению r_m. Изменение давления с высотой внутри помещения описывается дифференциальным уравнением гидростатики, которое с учетом указанного допущения имеет следующий вид:

, (2.6)

Где Р_вн - давление внутри помещения, Нп•м^-2; r_m - среднеобъемная плотность газовой среды в помещении, кг•м³.

Для того чтобы установить закон распределения давлений вдоль оси Оу внутри помещения, проинтегрируем уравнение (2.6). При этом правую часть этого уравнения проинтегрируем в пределах от у = h до текущего

значения координаты у, а левую часть соответственно в пределах от р_вн(h) до р_вн,где p_вн(h) - давление внутри помещения на высоте y = h.

В результате получим следующее аналитическое выражение закона распределения давлений внутри помещения:

, (2.7)

Закон распределения давлений внутри помещения формулируется следующим образом: "Давление внутри помещения распределяется вдоль вертикальной оси Оу по линейному закону".

Так как распределение внутри помещения является линейным, давление на высоте у = h равно среднеобъемному значению давлений. Действительно:

где V = F_пол2h; dV = F_полdy; F_non - площадь пола.

С учетом сказанного закон распределения давлений внутри помещения окончательно записывается следующим образом:

, (2.8)