2.3 Преобразование периодического сигнала в линейной цепи

В соответствии с физическим содержанием понятия спектр периодического сигнала и правилами спектрального метода анализа передачи детерминированных сигналов через линейные цепи сигнал y(t) на выходе линейной цепи с частотной характеристикой и периодическим воздействием x(t) будет определяться выражением

(4.10)

где , -амплитуды и начальные фазы гармоник в спектре периодического воздействия.

3. Пример решения задачи

3.1. Пример определения спектра периодического сигнала

Задан периодический сигнал (рис. 4.29). Необходимо определить его спектр.

Р ешение. Запишем функцию s(t). В данном случае это целесообразно сделать на интервале , так как при этом выявится четность s(t).

(4.11)

Поскольку s (t) - четная, b_n=0.

Далее находим постоянную составляющую

(4.12)

(N=T/ - скважность последовательности),

и коэффициенты Фурье a_n

(4.13)

Заменяем T=2, n/2=n(2/T)(/2)=n/N. Получаем

(4.14)

Определяем амплитуды гармоник A_n

(4.15)

и их начальные фазы _n

(4.16)

Записываем ряд Фурье

(4.17)

Далее положим для определенности, что N=3, и построим амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов (рис. 4.30).

Обращаем внимание, что амплитуды гармоник, номер которых кратен N , т.е. А_3, A₆,…, равны 0.

Для проверки правильности записанного выше ряда Фурье проведем восстановление временной функции с помощью программы "Sintfp1.mcd". Результаты представлены на рис. 4.31.

Определенное отличие формы восстановленного сигнала от исходного выражается в том, что у восстановленного сигнала фронты имеют конечную длительность, а вершина не плоская. Это связано с тем, что восстановление проведено только по 20 гармоникам спектра.

3.2.Преобразование последовательности прямоугольных импульсов в линейной цепи

Н ам уже известны законы изменения амплитуд и фаз гармоник в спектре входного сигнала

(4.18)

Пусть E=1В, T=10^-4с, N=3 и сигнал подается на линейную цепь с частотной характеристикой (Рис. 4.32) и параметрами, указанными ниже.

Поскольку спектр входного воздействия дискретный, нам нужны значения АЧХ (K(n*Ω) и ФЧХ (φ_k (n*Ω) на частотах

(4.19).

(4.20)

Тогда для построения y(t) с помощью программы "Sintfp1.mcd" мы будем иметь правила

, (4.21)

(4.22)

. (4.23)

Амплитудный спектр и временная функция отклика цепи приведены выше (рис. 4.33).

Сравнение спектров сигналов на рис. 4.30 и 4.33 доказывает, что высокочастотные составляющие спектра отклика существенно уменьшились по амплитуде (относительно первой гармоники), по сравнению с входным сигналом. Это понятно, так как электрическая цепь, на которую подается сигнал, представляет собой фильтр нижних частот. Плохая передача верхних частот фильтром искажает фронты воздействующего сигнала. Кроме того имеет место запаздывание выходного сигнала относительно входного.