3.3. Показатели безотказности для усеченного нормального распределения

Функция плотности распределения вероятностей классического нормального распределения записывается в виде:

(3.6.)

где: m_t - математическое ожидание классического распределения;

_t - среднеквадратическое отклонение.

Условие нормирования этой функции:

(3.7)

Для случая t = m_t :

Для случая :

Рис. 4.3. Графики функций классического нормального распределения при условии: m_t1< m_t2< m_t3 и _t3<_t2<_t1.

Поскольку случайная величина - наработка до отказа Т - теоретически изменяется в пределах от нуля до бесконечности, необходимо часть кривой распределения f(t), определяемой формулой (4.6.) для t<0 отсечь (т. е. устранить из рассмотрения). В этом случае имеет место усеченное нормальное распределение. Чтобы сохранить условие нормирования, а именно - площадь под кривой усеченного нормального распределения должна быть равна единице, вводится коэффициент усечения C₀. Для нахождения коэффициента усечения С₀ запишем условие нормирования:

(3.8)

А коэффициент усечения равен:

(3.9)

После ряда преобразований С₀ равен:

, (3.10.)

где: Ф - нормированная функция Лапласа;

F - интеграл Лапласа.

Таблица 3.3.

Значения С0 для разных отношений
mt /t	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0
C0	1,446	1,186	1,071	1,023	1,001	1,0	1,0

Функция распределения наработки до отказа для усеченного нормального распределения:

(3.11.)

Вероятность безотказной работы и вероятность отказа с учетом (3.11.) и после преобразований запишем:

(3.12.)

при t = m_t и при

, т.к. Ф(0)=0 и С₀1,0

Для усеченного нормального распределения на практике имеет место T₀m_t, если равенство P(t) и q(t), как и для равномерного распределения, наступает при наработке, равной средней наработке до отказа t=T₀.

Таблица. 3.4.

Расчетные значения P(t) для двух
T	0,5T0	0,7T0	T0	1,3T0	1,5T0	2T0
P(t)	0,7565	0,6882	0,4539	0,3258	0,2032	0,0651
P(t)	0,9937	0,9332	0,5	0,0668	0,0063	310-6

Данные таблицы показывают, что наибольшее число отказов происходит в интервале наработки от (T₀-0,5_t) до (T₀+0,5_t), т. е. при =1 наибольшее число отказов происходит в широком интервале наработки: от 0.9Т₀ до 1.5Т₀. В случае наибольшее число отказов происходит в значительно узком интервале наработки: от 0,9T₀ до 1,1 T₀.

Такой результат более предпочтителен, так как в более узком интервале наработки отказы становятся более вероятны, значит, легче организовать и обеспечить обслуживание и восстановление отказавших объектов.

0,5T₀

T₀

1,5 T₀

2T₀

0

t

Рис.3.4 Графики P(t) для усеченного нормального распределения.

Интенсивность отказов усеченного нормального распределения найдем по формуле:

(3.13.)

С

(t)

ростом наработки поведение кривой (t) определяется как ходом функции усеченного нормального распределения, так и ходом функции надежности P(t).

(0)=f(0)

T₀=m_t

f(t)

Рис.3.5 Графики функций и (t) для одного значения отношения при .

При t=T_o и P(t=T_o)=0,5, (t=T₀) равно удвоенному значению "высоты" функции и t>T_o интенсивность отказов увеличивается.

Средняя наработка до отказа определим по формуле:

(3.14.)

Проведя преобразование T₀ формулы (3.14), получаем:

где (3.15.)

Таблица 3.5.

Значения коэффициента К0 для разных отношений
	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0
К0	0,51	0,29	0,095	0,055	0,02	0,007	0,0026
T0/mt	2,02	1,29	1,063	1,027	1,006	1,002	,10005

Из Табл.3.5. видно, что превышение Т_о над m_t существенно при , а при можно считать .

Усеченное нормальное распределение имеет среднеквадратические отклонения , отличное от классического нормального распределения. Для определения найдем дисперсию наработки до отказа, используя формулу (3.5):

(3.16.)

Подставив в формулу (3.16) выражение (3.15) и проведя преобразование, получаем:

При , а

При , а

Следовательно, при

Особенности усеченного нормального распределения следующие:

1. Для в пределах 3…10 число отказов для объектов, находящихся под наблюдением в интервале наработки [0…(0,7….0,9)Т₀] увеличивается мало, достигая величины порядка n(t)  (0,07….0,1)N;

2. Основное число объектов отказывает в интервале наработки (0,8…1,2)Т_о при ;

3. При t=T₀ P(T₀)=0,5, как в случае равномерного распределения -  примерно половина объектов переходит в неработоспособное состояние;

4. При функция надежности приближается к идеалу- релейной функции: Р(t) резко падает от Р(t₁)1,0 до Р(t₂)0, т. е. все объекты отказывают в узком интервале наработки (t₁….t₂).