Нижегородский государственный

Технический университет

Кафедра «Прикладная математика».

Отчет по лабораторной работе

Тема: «Численные методы решения нелинейного уравнения с одним неизвестным»

Вариант№9.

Выполнил: студент ф-та ФАЭ

гр. 06-ЭОС

Васильев А.С.

Проверил: асс. Балакина Н.А.

Н.Новгород 2007г

Содержание

1. Теоретическая часть

2. Блок – схемы

3. Реализация в Mathcad

4. Реализация в Excel

5. Программирование (на языке С)

6. Ручной счет

7. Заключение

Теоретическая часть.

1. Шаговый метод.

Идея метода

1. Разбиение промежутка на n интервалов

2. Вычисление таблицы значений функции при изменении величины на промежутке [a,b] с шагом h. Из анализа таблицы на предмет смены знака выбираем претенденты на интервалы изоляции.

2. Метод половинного деления.

Идея метода

Метод основан на последовательном сужении интервала содержащего единственный корень уравнения F(x)=0, до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Алгоритм метода:

1. Определить новое приближение корня х в середине отрезка [a,b] x=(a+b)/2

2. Найти значение функции в точках а и х (F(a) и F(х)).

3. Проверить условие F(a)*F(х)<0, если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [a,х], в этом случае точку b нужно переместить в точку х. (b=х); если условие не выполнено, то корень находится на отрезке [х,b], в этом случае точку а необходимо переместить в точку х.(а=х)

4. Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам.

Алгоритм продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие | F(x) |<е.

3. Уточнение корня методом Ньютона. Идея метода.

Замена функции F(x) её линейной моделью в окрестностях начального значения корня х₀ (нулевого приближения) в виде касательной. Такая замена позволяет приближенно вычислить функцию F(x) по линейной функции F(x₀)+ F^'(x₀)(х-х₀). Соответствующие не линейному уравнению F(x₀)+ F^'(x₀)(х-х₀)=0 в качестве решения имеет первое приближение к корню, которое описывается итерационной формулой .

Пусть задан отрезок [a,b] содержащий корень уравнения F(x)=0, уточнение значения корня производится путем использования касательной, в качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [a,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки, т.е. выполняется условие F(x₀)*F”(x₀)<0; в точке F(x₀) строится касательная кривой y= F(x) и ищется пересечение с осью ох, точка принимается за новую итерацию.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие

| F(x) |<e, (e=0.001)

4. Метод простой итерации.

Идея метода.

Метод основан на замене исходного уравнения F(x)=0 на эквивалентное . Функция выбирается таким образом, чтобы на отрезке [a,b] выполнялось условие сходимости , в этом случая в качестве начального приближения можно выбрать любой из концов отрезка. Итерационная формула имеет вид . Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие | F(x) |<е.