Тема 8. Кратные интегралы

1. Двойной интеграл. Двойной интеграл, его геометрический смысл. Свойства интеграла: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, оценка интеграла, теорема о среднем. Формула повторного интегрирования для двойного интеграла. Двойной интеграл в криволинейных координатах. Понятие о криволинейных координатах на плоскости. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

2. Тройной интеграл. Примеры задач, приводящих к тройному интегралу. Вычисление тройного интеграла повторным интегрированием. Понятие о криволинейных координатах в пространстве. Цилиндрические и сферические координаты, переход в тройном интеграле к этим координатам.

Тема 9. Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

1. Криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл по длине дуги, его применения. Криволинейный интеграл по координатам. Задача о работе силового поля. Формула Грина.

2. Поверхностный интеграл. Вычисление площади поверхности. Поверхностный интеграл, его вычисление сведением к двойному интегралу; применение к вычислению площади поверхности.

3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского. Понятие о стороне поверхности, односторонние и двусторонние поверхности. Задача о количестве жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени. Поток векторного поля как поверхностный интеграл, его свойства. Теорема Остроградского, её векторная запись.

4. Циркуляция векторного поля. Линейный интеграл и циркуляция векторного поля, их свойства, механическая интерпретация. Формулировка теоремы Стокса, её векторная запись.

Тема 10. Ряды

1.Числовые ряды. Числовая последовательность и её предел. Числовой ряд. Частичные суммы ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Геометрическая прогрессия и обобщённый

гармонический ряд, условия их сходимости. Необходимый признак сходимости. Действия с рядами: сложение рядов, умножение ряда на число.

2.Положительные числовые ряды. Ряды с положительными членами. Признак сравнения и его предельная форма. Сходимость рядов с эквивалентными членами. Признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши. Гармонический ряд. Обобщённый гармонический ряд.

3.Произвольные числовые ряды. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.

4.Степенные ряды. Функциональный ряд и его область сходимости. Степенные ряды. Комплексный (вещественный) степенной ряд. Теорема Абеля. Круг, интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда. О сходимости степенного ряда на границе его круга (интервала) сходимости.

5. Свойства степенных рядов. Теоремы о непрерывности суммы степенного ряда, его почленном интегрировании и дифференцировании. Сохранение радиуса сходимости при интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Бесконечная гладкость суммы степенного ряда.

6. Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение по формуле Тейлора функций exp(x), sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^. Примеры использования этих разложений для получения разложений более сложных функций.

7. Ряд Тейлора. Необходимое условие разложимости функции в степенной ряд. Формулы для коэффициентов разложения. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора функции. Условие сходимости ряда Тейлора к своей функции.

8.Разложение функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена для основных элементарных функций: e^x, sin x, cos x, (1+x)^ , ln(1+x), arctg x. Методы разложения в ряд Тейлора, основанные на теореме о единственности: с помощью известных разложений, с помощью интегрирования и дифференцирования рядов и другие. Применение степенных рядов: к раскрытию неопределённостей в пределах, к вычислению определённых интегралов Вывод с помощью рядов формулы Эйлера.