Лекции по курсу «Высшая математика»

2 Семестр 2012 г. (54 часа, гр. Тст, тса, лектор Ряднов а.В.)

Тема 5. Функции нескольких переменных

1. Частные производные. Функция нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Понятие о пределе и непрерывности функции нескольких переменных. Полное приращение и частные приращения функции нескольких переменных. Определение частных производных первого порядка. Частные производные высших порядков. Теорема Шварца о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования (без вывода).

2. Полный дифференциал. Полный дифференциал функции нескольких переменных как главная часть ее полного приращения. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Коэффициенты полного дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях. Частные производные сложной функции нескольких переменных. Частные производные неявной функции нескольких переменных.

3. Экстремумы. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума (для функции двух переменных). Определение открытого множества, области, замкнутой области. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области.

4. Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля, его свойства. Применение градиента для вычисления вектора единичной нормали к поверхности. Производная скалярного поля по направлению, и её связь с градиентом. Дивергенция и ротор векторного поля, их свойства.

Тема 6. Комплексные числа

1. Комплексные числа. Комплексное число в алгебраической форме и его геометрическое изображение. Сопряженное число. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме. Полярная система координат и её связь с декартовыми координатами. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное число в тригонометрической форме. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корней из комплексных чисел. Формула Эйлера. Комплексное число в показательной форме.

Тема 7. Неопределённый, определённый и несобственные интегралы

1. Неопределённый интеграл. Первообразная функции. Теорема о множестве первообразных на интервале. Неопределённый интеграл. Взаимная обратимость действий дифференцирования и интегрирования. Формулировка теоремы существования неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Простейшие правила интегрирования: интегрирование суммы, вынесение постоянного множителя.

2. Замена переменной и интегрирование по частям. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Подведение под знак дифференциала. Прибавление постоянной под знаком дифференциала, введение под знак дифференциала постоянного множителя. Интегрирование по частям. Некоторые типы интегралов, которые вычисляются этим способом. Метод приведения интеграла к самому себе.

3. Интегрирование рациональных дробей. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование. Формулировка теоремы о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей. Нахождение неопределенных коэффициентов методом частных значений, методом сравнения коэффициентов, комбинированным методом. Интегрирование неправильных рациональных дробей.

4. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций. Интегрирование произведений степеней синуса и косинуса с одинаковыми аргументами, произведений синусов и косинусов от разных аргументов. Интегрирование функций, рациональных относительно синуса и косинуса (универсальная тригонометрическая подстановка). Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. Интегрирование квадратичных иррациональностей с помощью тригонометрических (гиперболических) подстановок.

5. Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: задача о площади криволинейной трапеции, задача о массе стержня. Интегральная сумма и определённый интеграл. Формулировка теоремы существования определённого интеграла от кусочно непрерывной функции. Основные свойства: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, теорема об оценке, теорема о среднем.

6. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Доказательство теоремы существования неопределённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определённого интеграла: замена переменной, интегрирование по частям.

7. Вычисление объёмов и площадей. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, заданными в декартовых координатах; заданных параметрически. Вычисление площадей в полярных координатах. Вычисление объёма тела через площади его сечений. Объем тела вращения.

8. Другие приложения определённого интеграла. Примеры вычисления с помощью определённого интеграла механических и физических величин ( массы стержня, координаты центра масс, момента инерции и др.). Общая схема применения интеграла к нахождению геометрических и физических величин. Определение длины дуги плоской или пространственной линии. Вычисление длины дуги с помощью определённого интеграла. Вычисление площади поверхности вращения (без вывода).

9. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Абсолютная сходимость. Сходимость абсолютно сходящегося интеграла (без вывода). Признаки сходимости несобственных интегралов.