§3.3. Цепь переменного тока с емкостью.
Е
мкостный
элемент представляет собой идеальный
конденсатор, между обкладками которого
содержится идеальный диэлектрик, т. е.
диэлектрик, в котором отсутствует ток
проводимости и, следовательно, не
существует тепловых потерь.
Рассмотрим электрическую
цепь, состоящую из источника питания и
конденсатора емкостью
(рис. 10,а). Пусть к конденсатору подведено
синусоидальное напряжение:
(1)
Проходящий по конденсатору ток
(2)
Комплексная амплитуда тока
(3)
где
,
(4)
Действующие значения тока
(5)
где
- реактивное сопротивление емкости, или
просто емкостное сопротивление, которое
учитывает реакцию электрической цепи
на изменение электрического поля в
конденсаторе. Емкостное сопротивление
обратно пропорционально частоте
питающего источника и емкости конденсатора.
Частотная характеристика емкости
представлена на рис. 11. Из формулы (4)
следует, что ток опережает напряжение
на угол
.
Или напряжение на конденсаторе отстает
от тока на угол
,
что видно из векторной диаграммы (рис.
10,б), построенной для случая, когда
начальная фаза тока
.
Комплексные амплитуды напряжения и тока:
или
(6)
Разделив правую и левую
части последнего уравнения на
,
получим закон Ома в комплексной форме
для участка цепи с емкостью:
(7)
Отсюда напряжение на емкости равно:
(8)
Мгновенное значение мощности
(9)
Среднее значение мощности цепи с емкостью равно нулю:
Эта цепь не потребляет энергию от источника питания.
Графики изменения напряжения, тока и
мощности представлены на рис. 12.
В первую четверть периода
и
положительны, конденсатор заряжается.
К концу первой четверта периода энергия
электрического поля конденсатора равна
.
В течение второй четверти периода
напряжение на конденсаторе убывает,
ток и мощность – отрицательны. Происходит
разрядка конденсатора и энергия
электрического поля возвращается в
сеть. Следовательно, в цепи с идеальным
конденсатором происходит непрерывный
периодический процесс обмена энергии
между конденсатором и сетью, причем
процесс идет без потерь энергии.
Амплитуду колебания мощности
в цепи с емкостью называют реактивной
емкостной мощностью и обозначают
.
Согласно (9) значение этой мощности
(10)
где
-
емкостная проводимость.
Емкостная мощность имеет единицу измерения ВАр.
§3.4. Расчет цепи с реальной индуктивностью.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и реальной катушки индуктивности (рис. 13а). L – индуктивность катушки, R – ее активное сопротивление. Эквивалентную схему реальной катушки называют индуктивным двухполюсником. Пусть по данной цепи проходит ток
(1)
Н
еобходимо
установить закон изменения напряжения
на ее зажимах.
По второму закону Кирхгофа мгновенное значение напряжения равно сумме мгновенных значений напряжений на отдельных участках цепи:
(2)
Уравнение (2) называется уравнением баланса напряжений или уравнением электрического состояния индуктивности.
Так как данная цепь линейная,
то каждое из напряжений
и
является синусоидальным и имеет частоту,
равную частоте тока
.
Поэтому подводимое напряжение
тоже синусоидально:
(3)
Определим амплитуду
и начальную фазу
напряжения
,
пользуясь комплексным методом. Перейдем
от уравнения (2) для мгновенных значений
напряжений к уравнению для комплексных
действующих напряжений и тока:
(4)
Комплексное действующее
значение тока равно:
Комплексное действующее значение напряжений:
(5)
Подставим значения (5) в (4) получим:
(6)
Z - комплексное полное сопротивление:
(7)
где:
- модуль комплексного полного сопротивления,
- его аргумент.
Из выражения (6) получим закон Ома для индуктивного двухполюсника:
(8)
Подставим в (6) формулы для
и
:
(9)
Из (9) определим модуль напряжения и его начальную фазу:
,
(10)
Начальная фаза положительна. Следовательно, подводимое напряжение опережает ток в цепи на угол .
На рис. 13б приведена векторная
диаграмма реальной катушки. Для ее
упрощения начальную фазу тока
приняли равной нулю, тогда вектор тока
совпадает
с осью +1. Активное падение напряжения
совпадает по фазе с током, а вектор
индуктивного падения напряжения
опережает ток на угол
.
Векторную диаграмму рис. 13б называют
треугольником напряжения.
Если каждую из сторон треугольника напряжений разделить на ток , то получим треугольник сопротивлений (рис. 13в). Из него можно определить угол сдвига фаз между током и напряжением по формуле:
(11)
Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжений и тока:
(12)
На рис. 14 приведены графики напряжения, тока и мощности индуктивного двухполюсника.
Среднее значении мощности:
Учитывая, что
,
получим:
(13)
Из полученного соотношения видно, что средняя мощность цепи равна ее активной мощности. Поэтому среднюю мощность обычно называют активной мощностью.
Наибольшее значение активной мощности называют полной мощностью и обозначают буквой S:
.
(14)
Величину
называют реактивной индуктивной
мощностью цепи, обозначают буквой
.
(15)
Активная, реактивная и полная мощности связаны между собой соотношением:
или
(16)
Полную мощность принято измерять в вольтамперах (ВА).
Для пояснения каждой из этих мощностей
рассмотрим графики на рис. 14. При
,
когда ток и напряжения положительны,
мощность также положительна. Это
означает, что в этот промежуток времени
энергия источника расходуется на
тепловую энергию и на энергию, запасаемую
в магнитном поле
.
В течение времени
мощность отрицательна. Это означает,
что энергия частично возвращается
обратно к источнику. В момент
к источнику возвратится энергия, равная
заштрихованной площадке, ограниченной
участком кривой и осью абсцисс.
Г
рафически
полная мощность S
характеризует амплитуду колебания
мощности около среднего значения. Полная
мощность также является расчетной
мощностью машины, т. к. она учитывает
напряжение и ток, по величине которых
выбираются все детали электротехнических
устройств и аппаратов.