4. Расчет и реализация пассивных lc – фильтров

Под пассивным фильтром далее подразумевается реактивный четырехполюсник (четырехполюсник без потерь), нагруженный со стороны выходных зажимов на сопротивление нагрузки R₂, а со стороны входных - на внутреннее сопротивление генератора R₁, как это показано на рис. 2. Рис. 2. Реактивный четырехполюсник с нагрузкой на входе и выходе

При расчете таких фильтров для их описания вводят два коэффициента - коэффициент передачи мощности и коэффициент отражения, определяемые по следующей методике [4], [5].

Максимальная мощность, которая может поступить от источника в нагрузку, равна

(23)

Мощность, поступающая в нагрузку через реактивный четырехполюсник, определяется выражением

(24)

С учетом (23) и (24) коэффициент передачи мощности определяется отношением

(25)

Коэффициент отражения определяется как дополнение коэффициента передачи мощности до 1:

(26)

Отсюда следует, что изменение коэффициента отражения в полосе пропускания приводит к изменению затухания на величину

, дБ (27)

Иначе

(28)

В справочниках по расчету фильтров [7], [9] используют как максимально допустимый коэффициент отражения, так и максимальную неравномерность АЧХ затухания.

Часто вместо коэффициента передачи мощности используется характеристическая функция (j), определяемая из соотношения

(29)

откуда следует, что

(30)

Существует несколько методов реализации заданной передаточной функции пассивной цепью. Наибольшее распространение получили три основные схемные структуры: лестничные схемы, мостовые схемы и схемы Дарлингтона [2], [4], [6]. Тематика курсовой работы предполагает разработку пассивного LC -фильтра лестничной структуры, пример такой схемы приведен в Приложении 1 на рис. 6. Лестничные схемы обладают важным преимуществом, вытекающим из следующего свойства: нуль передачи лестничной цепи достигается на тех частотах, на которых полное сопротивление последовательной ветви или полная проводимость параллельной ветви равны бесконечности. Из этого следует, что каждой ветвью обусловлен нуль передачи (полюс затухания). Это делает настройку лестничного фильтра относительно простой. Также благодаря этому нули передачи (полюса затухания) менее чувствительны к изменению параметров элементов, по сравнению со схемами, в которых частота полюса (нуля) определяется условием баланса моста [5].

Расчет пассивного LC-фильтра лестничной структуры осуществляется в следующей последовательности.

1. Нормирование частоты и определение нормирующих параметров элементов фильтра.

2. Переход к фильтру-прототипу и определение параметра избирательности фильтра-прототипа.

3. Выбор типа и порядка фильтра-прототипа.

4. Определение по таблицам и графикам нормированных параметров фильтра-прототипа.

5. Преобразование частоты - переход от фильтра-прототипа к ФВЧ или ПФ.

6. Денормирование параметров элементов фильтра.

Нормирование частоты можно производить и после перехода к фильтру-прототипу.

6. Реализация фильтров с помощью активных rc-цепей

Реализация активных RC-фильтров осуществляется с использованием одного или нескольких активных приборов: транзисторов, зависимых источников и т.п. Наиболее часто применяемым активным прибором является операционный усилитель (ОУ), выполненный в виде интегральной схемы. ОУ представляет собой устройство с двумя входами (инвертирующим и неинвертирующим) и одним выходом, которое обладает большим коэффициентом усиления К₀, постоянным в широком диапазоне частот, начиная с нулевой. У идеального ОУ входные сопротивления равны бесконечности, а выходное сопротивление равно нулю. Выходное напряжение ОУ равно

(31)

Условное обозначение и эквивалентная схема ОУ приведены на рис 3.

Рис. 3. Условное обозначение и эквивалентная схема идеального ОУ

Реализация активных RC -фильтров может осуществляться в прямой или каскадной форме. В первом случае заданная передаточная функция реализуется непосредственно как передаточная функция одного фильтра. Во втором случае используется каскадное соединение звеньев, состоящих из активных фильтров второго порядка и активных или пассивных фильтров первого порядка с соответствующей развязкой между каскадами. Такая реализация позволяет проводить независимую подстройку каждого звена фильтра. Каскадные структуры, как правило, менее чувствительны к изменениям параметров элементов, чем фильтры прямой структуры.

Из выражения .(6) следует, что передаточная функция фильтра первого порядка имеет вид

(32)

где M(p)-полиномом первой или нулевой степени.

Для фильтров второго порядка передаточная функция

(33)

В частности, для фильтров Баттерворта и Чебышева нижних частот числитель равен а₀, для ФВЧ -p² , а для ПФ – a₁p.

Каскадная реализация фильтра четного порядка n содержит n/2 звеньев второго порядка, каждое с передаточной функцией типа (33). Для фильтра нечетного порядка схема содержит (n-1)/2 звеньев второго порядка и одно звено первого порядка с передаточной функцией типа (32).

Таким образом, основная задача проектирования состоит в реализации передаточной функции второго порядка (33). При этом дополнительно необходимо обеспечить большое входное и малое выходное сопротивление каскада, чтобы избежать применения дополнительных развязывающих каскадов.

Удобным описанием передаточной функции второго порядка является система обобщенных параметров: добротность полюса (нуля)

, (34)

и собственная частота полюса (нуля)

, (35)

Передаточная функция фильтра второго порядка через эти параметры определяется следующим образом:

(36)

Применение справочников и таблиц для расчета фильтров предполагает использование нормированных значений частот полюса и нуля. Если нормирование осуществляется относительно частоты среза, т.е. _p=_p/_В и _z=_z/_В, то выражение (36) приобретает вид

. (37)

Выражение для передаточной функции в форме (37) является основным при расчете фильтров второго порядка.

Рассмотрим общие принципы реализации передаточной функции вида (37) с помощью ОУ, охваченного обратной связью. Пассивная часть схемы представляет собой многополюсник состоящий из резистивных и емкостных элементов (рис. 4).

Р ис. 4. Фильтр на базе ОУ с обратной связью.

Чтобы получать выражение для передаточной функция, составим уравнения, описывающие пассивную часть схемы, используя метод узловых напряжений и матрицу узловых проводимостей:

(38)

.

Полагая, что в идеальном ОУ входная цепь не потребляет тока (т.е. I₂ = 0), и учитывая, что U₂= - U₃/K₀, из второго уравнения (38) получаем

(39)

Из этого выражения следует, что при большом коэффициенте усиления ОУ передаточная функция активного фильтра определяется только параметрами RC-цепи:

. (40)

Одной из наиболее простых схем, реализующих изложенный выше принцип построения активных фильтров, является схема с многопетлевой обратной связью (рис. 5).

Рис. 5. Активный фильтр с многопетлевой обратной связью.

Составив уравнения по методу узловых напряжений и положив, как и ранее, что входной ток ОУ равен нулю, а выходное напряжение

U₃= -K₀U₂,

после несложных преобразований приходим к следующему выражению для передаточной функции этой схемы:

(41)

При K₀ это соотношение принимает вид

. (42)

Реализация нужной передаточной функции звена второго порядка сводится, таким образом, к подбору проводимостей элементов, которые могут быть либо резисторами с проводимостью 1/R, либо конденсаторами, с проводимостью, равной pC. В частности из (42) следует, что для реализации ФНЧ необходимо, чтобы проводимости Y₁, Y₃ и Y₄ были резистивными, а Y₂, Y₅ - емкостными.

Другие способы реализации звена второго порядка отличаются структурой RC -цепи и включением ОУ. Так широко применяются схемы с однопетлевой обратной связью и неинвертирующим включением ОУ (фильтры на источнике напряжения, управляемым напряжением - ИНУН), схемы, использующие несколько ОУ (биквадратные фильтры, фильтры на трех конденсаторах и др). Со способами реализации этих фильтров можно ознакомиться в монографиях и справочниках [3],[4],[8]. Отметим, что, как правило, передаточные функции второго порядка при малых в средних значениях добротности (менее 20) реализуются с помощью относительно простых схем. При высоких значениях добротности (свыше 20) требуются более сложные схемы [10].